Question

過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施．如圖17所示是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求：
（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件和小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)間的距離．

Answer 1

（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

試題分析：（1）（4分）設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁根據(jù)動(dòng)能定理
                   ①
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律
                                    ②
由①②得                                                      ③
（2）（4分）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，由題意
                                       ④
              ⑤
由④⑤得                                                   ⑥
（3）（4分）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₃，應(yīng)滿足
                                    ⑦
              ⑧
由⑥⑦⑧得           
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動(dòng)能定理

解得                  
為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應(yīng)滿足

解得               R₃=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或
當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)′，則


當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)〞，則

點(diǎn)評(píng)：選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．