Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率和運(yùn)行周期T。

（1）可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A 可等效為位于 O點(diǎn)處質(zhì)量為m的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）

對(duì)它的引力，設(shè) A和 B的質(zhì)量分別為 m₁、m₂，試求 m （用 m₁、m₂ 表示）；

（2）求暗星 B的質(zhì)量 m₂ 與可見(jiàn)星 A的速率 v、運(yùn)行周期 T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見(jiàn)星A的速率v=2.7×10 ⁵ m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×10 ⁴ s，質(zhì)量m₁=6m_s，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？

（G=6.67×10^－11 N?m ² /kg² ，m_s=2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

解：（1）設(shè) A、B的圓軌道半徑分別為 1r 、 2r ，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同。設(shè)其為w。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

設(shè)A、B之間的距離為又，①

由萬(wàn)有引力定律，有

將①代入得

令比較可得

（2）由牛頓第二定律，有又可見(jiàn)星A的軌道半徑

由②③④式解得

（3）將代入⑤式，得

代入數(shù)據(jù)得

將其代入⑥式得⑦

可見(jiàn)的值隨n的增大而增大，試令，得⑧

若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于，由此得出結(jié)論：暗星B可能是黑洞。