Question

5．兩顆行星的質量分別為m₁和m₂，繞太陽運行的軌道半徑分別為r₁和r₂，若它們只受太陽的萬有引力作用，下列說法正確的是（　�。�

• A． 線速度之比為$\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
• B． 角速度之比為$\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
• C． 周期之比為$\sqrt{\frac{r_1^3}{r_2^3}}$
• D． 向心加速度之比為$\frac{{{m_1}r_1^2}}{{{m_2}r_2^2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r=ma$，解出周期、加速度、角速度、線速度與半徑的關系，相比即可．

解答 解：根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r=ma$，
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$．
所以：
A、兩顆行星的線速度之比是$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{\frac{1}{2}}$，故A正確．
B、兩顆行星的角速度之比是$\frac{ω{\;}_{1}}{ω{\;}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故B錯誤．
C、兩顆行星運行的周期之比為$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，故C正確．
D、兩顆行星的向心加速度之比$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{{r}_{2}}^{2}}{{{r}_{1}}^{2}}$，故D錯誤．
故選：AC

點評 本題主要掌握萬有引力提供向心力這個關系，并能根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．