Question

17．過山車是人們喜愛的一項(xiàng)活動(dòng)，某一游樂場(chǎng)過山車可簡(jiǎn)化為如圖的模型：如圖所示，甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，半徑分別為R=1m和r=0.6m，在兩軌道之間有一條長(zhǎng)為L(zhǎng)=3m水平軌道CD相通，一質(zhì)量為1kg的小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過CD段后又滑上乙軌道，最后從乙軌道最低點(diǎn)滑離軌道，小球運(yùn)動(dòng)過程中一直未脫離軌道，且小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，問：
（1）小球剛進(jìn)入甲軌道時(shí)的速度v₀至少為多大？
（2）若小球以（1）問中的最小速度進(jìn)入甲軌道，則小球經(jīng)過乙軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F多大？

Answer 1

分析 （1）小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力恰好為零，都由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過圓形軌道最高點(diǎn)時(shí)的速率．當(dāng)小球從C到達(dá)甲圓形軌道的最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解小球剛進(jìn)入甲軌道時(shí)的速度v₀．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求小球經(jīng)過乙軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓定律求小球?qū)�軌道的壓力�?/p>

解答 解：（1）設(shè)小球恰好通過甲軌道最高點(diǎn)的速度為v₁，則有
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v₁=$\sqrt{gR}$
取軌道最低點(diǎn)所在水平面為參考平面，從C到甲軌道的最高點(diǎn)的塩，由機(jī)械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}$mv₀₁²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²
解得 v₀₁=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×1}$=5$\sqrt{2}$m/s
小球恰好通過乙軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度 v₂=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{6}$m/s
從C到乙軌道最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得
-mg•2r=-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀₂²，解得 v₀₂=$\sqrt{42}$m/s＜v₀₁
所以小球剛進(jìn)入甲軌道時(shí)的速度v₀至少為5$\sqrt{2}$m/s．
（2）若小球以（1）問中的最小速度進(jìn)入甲軌道，設(shè)小球經(jīng)過乙軌道最低點(diǎn)時(shí)速度為v_D．
從C運(yùn)動(dòng)到D的過程，由動(dòng)能定理得
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀₁²．
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  F′-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
聯(lián)立可得 F′=$\frac{220}{3}$N
根據(jù)牛頓第三定律知，小球經(jīng)過乙軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力 F=F′=$\frac{220}{3}$N
答：
（1）小球剛進(jìn)入甲軌道時(shí)的速度v₀至少為5$\sqrt{2}$m/s．
（2）小球經(jīng)過乙軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F為$\frac{220}{3}$N．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用．在豎直平面內(nèi)，小球沿光滑圓軌道的運(yùn)動(dòng)模型與輕繩拴的球的運(yùn)動(dòng)模型相似，最高點(diǎn)的速度是v=$\sqrt{gr}$．