Question

3．如圖，在光滑水平軌道的右方有一彈性擋板，一質(zhì)量為M=0.5kg的木板正中間放有一質(zhì)量為m=2kg的小鐵塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在軌道上，木板右端距離擋板x₀=0.5m，鐵塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，現(xiàn)對(duì)小鐵塊施加一水平向右的大小為10N的拉力F．木板第一次與擋板碰前瞬間撤去外力，若木板與擋板碰撞時(shí)間極短，反彈后速度大小不變，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取10m/s²．
（1）木板第1次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時(shí)間是多長(zhǎng)？
（2）設(shè)木板第3次與擋板碰撞時(shí)小鐵塊還沒(méi)有與擋板發(fā)生碰撞，則木板第3次與擋板碰撞時(shí)小鐵塊的速度是多少？

Answer 1

分析 （1）先分析鐵塊與木板能否一起運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出木板靠最大靜摩擦力或滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生的加速度，假設(shè)兩者不不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求得共同的加速度，從而作出判斷．再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)位移時(shí)間公式求解時(shí)間．
（2）由公式v₁=at，求出木板與擋板碰前的共同速度，木板第一次與擋板碰撞前瞬間撤去外力，鐵塊以速度v₁向右做減速運(yùn)動(dòng)，木板與擋板碰撞后以速度v₁向左做減速運(yùn)動(dòng)，木板與木塊相對(duì)滑動(dòng)．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出板速度減為零經(jīng)過(guò)的時(shí)間和向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)位移速度關(guān)系公式求出木板與擋板第二次碰后木板向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離．木板與鐵塊達(dá)到共速后，將以速度v₂運(yùn)動(dòng)，再次與擋板碰撞．以后多次重復(fù)這些過(guò)程．運(yùn)用歸納法求出木板第3次與擋板碰撞時(shí)小鐵塊的速度．

解答 解：（1）假設(shè)m和M保持相對(duì)靜止，則整體的加速度$a=\frac{F}{M+m}=\frac{10}{2.5}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$，
隔離對(duì)M分析，f=Ma=0.5×4N=2N＜μmg，可知假設(shè)成立，鐵塊和木板一起向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
根據(jù)${x}_{0}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{a}}=\sqrt{\frac{2×0.5}{4}}s=0.5s$．
（2）設(shè)木板與擋板碰前，木板與物塊的共同速度為v₁，則
v₁=at
解得 v₁=2m/s
木板第一次與擋板碰撞前瞬間撤去外力，物塊以速度v₁向右做減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a₁，木板與擋板碰撞后以速度v₁向左做減速運(yùn)動(dòng)，木板與木塊相對(duì)滑動(dòng)，則木板加速度大小為a_m，設(shè)板速度減為零經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t₁，向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為x₁，則
μmg=ma₁
v₁=a_mt₁
${x}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2m}$．
解得 a₁=2m/s²，t₁=0.25s，x₁=0.25m
當(dāng)板速度向左為零時(shí)，設(shè)鐵塊速度為v₁′，則v₁′=v₁-a₁t₁
設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂鐵塊與木板達(dá)到共同速度v₂，木板向右位移為x₁′，則
v₂=v₁′-a₁t₂，v₂=a_mt₂，x₁′=$\frac{1}{2}{a}_{m}{{t}_{2}}^{2}$，
解得 v₁′=1.5m/s，t₂=0.15s，v₂=1.2m/s，x₁′=0.09m
因?yàn)閤₁′＜x₁，所以木板與鐵塊達(dá)到共速后，將以速度v₂運(yùn)動(dòng)，再次與擋板碰撞．
設(shè)木板與擋板第二次碰后，木板向左運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為x₂，則 x₂=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{m}}$
解得 x₂=0.09m
綜上可知 v₂=0.6v₁，x₂=0.36x₁
因?yàn)橐院笫嵌啻沃貜?fù)上述過(guò)程．同理，有木板與擋板第三次碰后，木板與鐵塊達(dá)到共速為v₃=0.6v₂=0.72m/s．
答：（1）木板第1次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時(shí)間是0.5s．
（2）設(shè)木板第3次與擋板碰撞時(shí)小鐵塊還沒(méi)有與擋板發(fā)生碰撞，則木板第3次與擋板碰撞時(shí)小鐵塊的速度是0.72m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要正確判斷兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，邊計(jì)算邊分析．本題也可以根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解．