Question

5．高速動車組啟動時，所有車輪都能一同運轉，使得各車廂同時啟動，而傳統(tǒng)列車因為各車廂間存在一小段間隙，所以從車頭啟動到車尾啟動有一個過程，造成機車牽引力所做的功有損耗，為便于比較，假定高度動車組和傳統(tǒng)列車均由n（n＞2）節(jié)車廂（認為車頭為第1節(jié)車廂）構成，每節(jié)車廂的質量均為m，但傳統(tǒng)列車各車廂間的間隙為d（如圖所示，啟動后前面的車廂運動距離d后帶動后一節(jié)車廂），它們都在相同大小為F的恒定牽引力的作用下啟動，一切阻力不計，傳統(tǒng)列車前一車廂帶動后以車廂運動時視為完全非彈性碰撞，求：

（1）傳統(tǒng)列車第1節(jié)車廂與第2節(jié)車廂碰撞后瞬間，第2節(jié)車廂的速度大小v₂；
（2）傳統(tǒng)列車所有車廂都開始運動時的總動能E_k；
（3）高速動車組在力F的作用下由靜止開始通過與傳統(tǒng)列車啟動過程（從啟動到所有車廂都開始運動）相同距離時的動能E_k'以及$\frac{{{E_k}'}}{E_k}$．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求解出車頭（第一節(jié)車廂）帶動第2節(jié)車廂前的速瞬時速度，根據(jù)動量守恒定律可求解出列車第1節(jié)車廂帶動第2節(jié)車廂后瞬間速度的大小
（2）由動能定理和動量守恒定律求解出第二節(jié)車廂帶動第三節(jié)車廂后的瞬時速度大小，找出的規(guī)律，計算出總動能
（3）由動能定理計算出高速動車的動能

解答 解：（1）設傳統(tǒng)列車車頭（第1節(jié)車廂）帶動第2節(jié)車廂前瞬間的速度大小為v₁，由動能定理有：$Fd=\frac{1}{2}mv_1^2-0$
設車頭（第1節(jié)車廂）帶動第2節(jié)車廂后的瞬時速度為v₂，在車頭（第1節(jié)車廂）帶動第2節(jié)車廂運動的過程中由動量守恒定律有：mv₁=2mv₂，解得v₂=$\sqrt{\frac{Fd}{2m}}$
（2）設傳統(tǒng)列車第2節(jié)車廂帶動第3節(jié)車廂前的瞬時速度為v₂′，由動能定理有：Fd=$\frac{1}{2}$mv₂^/2-$\frac{1}{2}$mv₂²
設第二節(jié)車廂帶動第三節(jié)車廂后的瞬時速度為v₃，由動量守恒定律有：
2mv₂′=3mv₃
解得：v₃=$\sqrt{\frac{2Fd}{3m}}$
設碰撞后瞬間傳統(tǒng)列車第（n-1）節(jié)車廂的速度大小${v_{n-1}}=\sqrt{\frac{{（{n-2}）Fd}}{（n-1）m}}$，第（n-1）節(jié)車廂帶動第n節(jié)車廂前瞬間的速度大小為v_n-1'，由動能定理有：$Fd=\frac{1}{2}（n-1）mv_{n-1}^{'2}-\frac{1}{2}（n-1）mv_{n-1}^2$
設碰撞全部完成瞬間所有車廂的速度大小為v_n，由動量守恒定律有：（n-1）mv_n-1'=nmv_n
解得${v_n}=\sqrt{\frac{（n-1）Fd}{nm}}$，可知假設成立
故，${E_k}=\frac{1}{2}×nmv_n^2$，解得${E_k}=\frac{（n-1）Fd}{2}$
（3）經分析可知，傳統(tǒng)列車從啟動到所有車廂均以相同的速度開始運動時通過的距離為（n-1）d，對高速動車組在力F作用下啟動通過相同距離的過程，由動能定理有：$F（n-1）d=E_k^'-0$
解得$E_k^'=F（n-1）d$，故$\frac{E_k^'}{E_k}=2$
答：（1）傳統(tǒng)列車第1節(jié)車廂與第2節(jié)車廂碰撞后瞬間，第2節(jié)車廂的速度大小v₂為$\sqrt{\frac{Fd}{2m}}$
（2）傳統(tǒng)列車所有車廂都開始運動時的總動能E_k為$\frac{（n-1）}{2}Fd$
（3）高速動車組在力F的作用下由靜止開始通過與傳統(tǒng)列車啟動過程（從啟動到所有車廂都開始運動）相同距離時的動能E_k'以為（n-1）Fd，$\frac{{{E_k}'}}{E_k}$為2

點評 （1）本題主要考查了動能定理和動量守恒定律
（2）歸納出第n節(jié)車廂被帶動后的瞬時速度與F、d、m及n的關系是解決第二問的關鍵