Question

如圖所示，ABCD為豎直平面內(nèi)固定的光滑軌道，其中AB為斜面，BC段是水平的，CD段為半徑R=0.2m的半圓，圓心為O，與水平面相切于C點(diǎn)，直徑CD垂直于BC．現(xiàn)將小球甲從斜面上距BC高為R的A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)B點(diǎn)后只保留水平分速度沿水平面運(yùn)動，與靜止在C點(diǎn)的小球乙發(fā)生彈性碰撞，已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m=1.0×10^﹣2kg．重力加速度g取10/m/s²．（水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)）．求：

（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，則甲、乙碰后瞬間，乙對半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力F；

（2）在滿足（1）的條件下，求斜面與水平面的夾角θ；

（3）若將甲仍從A點(diǎn)釋放，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：動量守恒定律；動能定理．

專題：動量定理應(yīng)用專題．

分析：（1）首先小球乙為研究對象，乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，則重力恰好通過向心力，列出牛頓第二定律的方程；從C到D的過程中，小球乙的機(jī)械能守恒，列出方程，聯(lián)立即可求出小球在C的速度，最后使用牛頓第二定律求出小球在C處受到的支持力，由牛頓第三定律說明即可．

（2）利用機(jī)械能守恒求出甲到達(dá)B點(diǎn)的速度，然后將速度分解，保留水平方向的分速度即為C點(diǎn)的速度；甲與乙碰撞的過程中動量守恒，能量守恒，聯(lián)立方程即可求出斜面的傾角．

（3）增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，則甲乙碰撞的過程中乙獲得的速度增大，然后由機(jī)械能守恒求出小球乙通過C點(diǎn)的速度的范圍，利用平拋運(yùn)動求出平拋的水平距離 范圍．

解答：  解：（1）乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，則重力恰好通過向心力，得：

乙球從C到D的過程中機(jī)械能守恒，得：

聯(lián)立以上兩式得：

乙球在C點(diǎn)受到的支持力與重力的合力提供向心加速度，得：

所以：=6×1.0×10^﹣2N=0.6N

由牛頓第三定律可知，乙對半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力與軌道對小球的支持力大小相等，即：F=F_N=0.6N

（2）甲與乙的質(zhì)量相同，所以甲與乙發(fā)生彈性碰撞的過程二者交換速度，所以甲到達(dá)C的速度等于乙在C點(diǎn)的速度，即：

甲從A滑到B的過程中機(jī)械能守恒，得：

甲到達(dá)B點(diǎn)后只保留水平分速度沿水平面運(yùn)動，則：v_甲x=v•cosθ

所以：

則：θ=30°

（3）將甲仍從A點(diǎn)釋放，增大甲的質(zhì)量為M，甲到達(dá)C的速度仍然是，保持乙的質(zhì)量不變，仍然發(fā)生彈性碰撞，以向左為正方向，則：

動量守恒：Mv_C=Mv₁+mv₂

機(jī)械能守恒：

聯(lián)立解得：，

當(dāng)甲的質(zhì)量比乙的質(zhì)量大很多是時候，乙球的速度最大，，即最大速度約為原來速度的2倍．

乙離開圓軌道后做平拋運(yùn)動，運(yùn)動的時間：

水平方向做勻速直線運(yùn)動，速度最小時的水平方向的位移：m

速度最大時的水平方向的位移：x_max=2v_C•t=2x_min=1.7888m

答：（1）甲、乙碰后瞬間，乙對半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力是0.6N；

（2）斜面與水平面的夾角是30°；

（3）若將甲仍從A點(diǎn)釋放，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍是0.8944m≤x≤1.7888m．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確兩個小球的運(yùn)動情況，然后分過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、動量守恒定律、平拋運(yùn)動的分位移公式和向心力公式列式求解．