Question

（25分）如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長為2，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為的小球B、D和C，開始時靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)量為的小球A，以一給定速度沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A,B,C,D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運動情況。

Answer 1

參考解答：

1. 求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度

設(shè)剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、、、，并設(shè)它們的方向都與的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)的質(zhì)心的速度．因碰撞前后四小球組成的質(zhì)點組的動量守恒， 故有

                       （1）

碰撞前后質(zhì)點組的角動量守恒，有

                            （2）

這里角動量的參考點設(shè)在與B球重合的空間固定點，且規(guī)定順時針方向的角動量為正．因為是彈性碰撞，碰撞前后質(zhì)點組的動能相等，有

               （3）

因為桿是剛性桿，小球B和D相對于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反，所以有

                                        （4）

解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個解

         =0                                  （5）

和

               （6）

因為也是剛碰撞后由B、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運動定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動，故（5）式不合理，應(yīng)舍去．取（6）式時可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度

               （7）

               （8）

               （9）

2．討論碰撞后各小球的運動

碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質(zhì)心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運動．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動，角速度的大小為

               （10）

方向為逆時針方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，下面就M、m取值不同而導(dǎo)致運動情形的不同進(jìn)行討論：

（i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知發(fā)生這種運動的條件是 

       

即                （11）

（ii），即碰撞后小球A反方向運動，根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運動的條件是

               （12）

（iii）但，即碰撞后小球A 沿方向作勻速直線運動，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知發(fā)生這種運動的條件是

       和         

即                （13）

（iv），即碰撞后小球A仍沿方向運動，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運動的條件是

               （14）

（v），即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿方向運動，發(fā)生這種運動的條件是

               （15）

在這種情形下，由于小球B、D繞小球C作圓周運動，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過時，小球D 將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運動．根據(jù)質(zhì)心運動定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞．這兩次碰撞的時間間隔是

               （16）

從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過的路程

               （17）

3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度

剛要發(fā)生第二次碰撞時，細(xì)桿已轉(zhuǎn)過，這時，小球B的速度為，小球D的速度為．在第二次碰撞過程中，質(zhì)點組的動量守恒，角動量守恒和能量守恒．設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、、和，并假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得

               （18）

                  （19）

               （20）

由桿的剛性條件有

                          （21）

（19）式的角動量參考點設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時與D球重合的空間點．

把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對比，可以看到它們除了小球B 和D互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個解

                                               （22）

和                 （23）

對于由B、C、D 三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后，其質(zhì)心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時質(zhì)心的速度，不合理，應(yīng)該舍去．取（22）式時，可解得

                 （24）

                 （25）

                （26）

（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作勻速直線運動，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運動，但已位于桿的前方，細(xì)桿和小球B、C、D則處于靜止?fàn)顟B(tài)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運動狀態(tài)，但都向前移動了一段距離，而且小球D和B換了位置．

評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題25分．