Question

（2011?西湖區(qū)模擬）如圖所示，在長(zhǎng)為2L、寬為L(zhǎng)的ABCD區(qū)域內(nèi)有一半的空間存在場(chǎng)強(qiáng)為E、方向平行于BC邊的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，電量為e的電子，以平行于AB邊的速度v₀從區(qū)域的左上角A點(diǎn)射入該區(qū)域，不計(jì)電子所受的重力，則：
（1）當(dāng)無(wú)電場(chǎng)的區(qū)域位于左側(cè)時(shí)（如圖甲），求電子射出ABCD區(qū)域時(shí)的動(dòng)能；
（2）當(dāng)無(wú)電場(chǎng)區(qū)域的左邊界距AD的距離為x時(shí)（如圖乙），要使這個(gè)電子能從區(qū)域的右下角的C點(diǎn)射出，電子的初速度v₀應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）電子未進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，不受力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．根運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，求出電子恰好從C點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)的初速度，分別討論：當(dāng)電子從電場(chǎng)的下邊界射出電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力做功為eEL，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能；當(dāng)電子從電場(chǎng)的右邊界射出電場(chǎng)時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電子偏轉(zhuǎn)的距離y，電場(chǎng)力做功為eEy，再由動(dòng)能定理求出電子射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能．
（2）當(dāng)無(wú)電場(chǎng)區(qū)域的左邊界距AD的距離為x時(shí)電子先做類平拋運(yùn)動(dòng)，接著做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后做類斜下拋運(yùn)動(dòng)．電子水平始終做勻速運(yùn)動(dòng)，水平位移大小為2L，求出電子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為總時(shí)間的一半，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解初速度滿足的條件．

解答：解：
（1）電子先做勻速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子恰好從C點(diǎn)射出電場(chǎng)．
     電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度a=

eE

m

設(shè)電子恰好從C點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有
   L=v₀t，L=

1

2

at²
解得：v₀=

eEL 2m

討論：
①當(dāng)v₀≤

eEL 2m

時(shí)，電子從電場(chǎng)的下邊界射出電場(chǎng)，射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能 E_k=

1

2

mv₀²+eEL
②v₀＞

eEL 2m

時(shí)，電子從電場(chǎng)的右邊界射出電場(chǎng)，射出電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的位移 y=

1

2

at²=

eEL2

2m v 2 0

     射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能 E_k=

1

2

mv₀²+eEy=

1

2

mv₀²+

(eEL)2

2m v 2 0

（2）電子先做類平拋運(yùn)動(dòng)，接著做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后做類斜下拋運(yùn)動(dòng)．
設(shè)電子整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則有
    2L=v₀t₁
L=

1

2

a（

t1

2

）²+a?

x

v0

?

t1

2

解得：v₀=

eE(2x+L) 2m

答：
（1）當(dāng)無(wú)電場(chǎng)的區(qū)域位于左側(cè)時(shí)，①當(dāng)v₀≤

eEL 2m

時(shí)，電子從電場(chǎng)的下邊界射出電場(chǎng)，射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能 E_k=

1

2

mv₀²+eEL；②v₀＞

eEL 2m

時(shí)，電子從電場(chǎng)的右邊界射出電場(chǎng)，射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能 E_k=

1

2

mv₀²+

(eEL)2

2m v 2 0

（2）當(dāng)無(wú)電場(chǎng)區(qū)域的左邊界距AD的距離為x時(shí)，要使這個(gè)電子能從區(qū)域的右下角的C點(diǎn)射出，電子的初速度v₀應(yīng)滿足條件是v₀=

eE(2x+L) 2m

．

點(diǎn)評(píng)：本題是類平拋問(wèn)題，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法處理是基本方法．第（2）問(wèn)技巧在于將電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)看成一個(gè)類平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程．