Question

12．用如圖所示的淺色水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運(yùn)送到斜面的頂端．AB距離L=11m，傳送帶始終以v=12m/s勻速順時(shí)針運(yùn)行．傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計(jì)的小圓�。�在A、C處各有一個(gè)機(jī)器人，A處機(jī)器人每隔t=1.0s將一個(gè)質(zhì)量m=10kg、底部有碳粉的貨物箱（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在傳送帶A端，貨物箱經(jīng)傳送帶和斜面后到達(dá)斜面頂端的C點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，C點(diǎn)處機(jī)器人立刻將貨物箱搬走．已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的$\frac{1}{11}$，不計(jì)傳送帶輪的大小，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）如果C點(diǎn)處的機(jī)器人操作失誤，未能將第一個(gè)到達(dá)C點(diǎn)的貨物箱搬走而造成與第二個(gè)貨物箱在斜面上相撞．求兩個(gè)貨物箱在斜面上相撞的位置到C點(diǎn)的距離； （本問結(jié)果可以用根式表示）
（3）從第一個(gè)貨物箱放上傳送帶A端開始計(jì)時(shí)，在t₀=2s的時(shí)間內(nèi)，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度．

Answer 1

分析 （1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由速度位移關(guān)系公式求出貨物箱運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端時(shí)的速度大小，根據(jù)貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的，得到貨物箱剛沖上斜面時(shí)的速度．貨物箱在斜面上向上運(yùn)動(dòng)過程中做勻減速運(yùn)動(dòng)，已知初速度、末速度為零，位移為s，由速度位移關(guān)系公式求出加速度大小，由牛頓第二定律求出斜面與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出貨物箱由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間和由B運(yùn)動(dòng)到C的時(shí)間，得到第一個(gè)貨物箱沖上斜面C端時(shí)第二個(gè)貨物箱剛好沖上斜面，然后貨物箱沿斜面向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律求出加速度，當(dāng)?shù)谝粋�(gè)貨物箱與第二個(gè)貨物箱相遇時(shí)，兩者位移大小之和等于斜面的長度s，由位移公式求出相遇時(shí)間，再求出兩個(gè)貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離．
（3）根據(jù)位移公式求出第1s內(nèi)貨箱和傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移，進(jìn)而得出貨箱第1s留下的痕跡，同理，再求出第2s內(nèi)第一個(gè)貨箱留下的痕跡，從而知道第一、二兩個(gè)貨箱由1m重合，t₀=2s時(shí)，第二個(gè)貨箱在傳送帶上運(yùn)動(dòng)了1s，留下的痕跡與第一個(gè)貨箱留下的痕跡相等，最后求出2s內(nèi)貨物箱在傳送帶上留下的痕跡的總長度．

解答 解：（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)牛頓第二定律有：μ₀mg=ma₁
解得：a₁=μ₀g=0.55×10=5.5m/s²
到傳送帶右端的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{2×5.5×11}$m/s=11m/s，
v₁＜v=12m/s，說明貨物箱在傳送帶上一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)至斜面底端的速度為：${v}_{2}={v}_{1}-\frac{1}{11}{v}_{1}=\frac{10}{11}{v}_{1}=\frac{10}{11}×11m/s$=10m/s，
貨箱在斜面上滑過程有：${a}_{2}=μgcosθ+gsinθ=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2s}$，
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.5．
（2）貨箱沿斜面上滑過程有：a₂=μgcosθ+gsinθ=0.5×10×0.8+10×0.6m/s²=10m/s²，
t₁=1s，第二個(gè)貨物箱在斜面B端時(shí)與第一個(gè)貨物箱剛好從C端下滑，
貨箱沿斜面下滑過程，根據(jù)牛頓第二定律有：a₃=gsinθ-μgcosθ=6-4m/s²=2m/s²•
設(shè)第一個(gè)貨物箱在斜面C端沿斜面向下運(yùn)動(dòng)與第二個(gè)貨物箱相撞的過程所用時(shí)間為t₂，有：
$s={v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{2}}^{2}$，
解得：${t}_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{4}s$，
兩個(gè)貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離：d=$\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{2}}^{2}=\frac{15-5\sqrt{5}}{8}m$．
（3）第1s內(nèi)，貨箱的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×5.5×1m=2.75m$，
傳送帶的位移：x₂=vt=12×1m=12m，
第1s留下的痕跡：d₁=x₂-x₁=12-2.75m=9.25m．
則t=1s時(shí)，第二個(gè)貨箱輕放在第一個(gè)貨物后2.75m處，第一個(gè)貨箱前9.25m有痕跡
第2s內(nèi)，對第一個(gè)貨箱：v₀=a₁t=5.5×1m/s=5.5m/s，
${x}_{1}′={v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$5.5×1+\frac{1}{2}×5.5×1$m=8.25m，
第一個(gè)貨箱留下的痕跡：d₂=x₂-x₁′=12-8.25m=3.75m，
可知一二兩個(gè)貨箱的痕跡有1m重合，
t₀=2s時(shí)，第二個(gè)貨箱在傳送帶上運(yùn)動(dòng)了1s，留下的痕跡：d₃=d₁=9.25m，
則2s內(nèi)，貨箱留下的痕跡總長度為：△s=d₁+d₂+d₃-1m=21.25m．
答：（1）斜面與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5；
（2）兩個(gè)貨物箱在斜面上相撞的位置到C點(diǎn)的距離為$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}m$；
（3）貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度為21.25m．

點(diǎn)評 此題文字較多，首先要有耐心讀題，該題涉及到相對運(yùn)動(dòng)的過程，要認(rèn)真分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，對于傳送帶問題，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，要邊計(jì)算邊分析，不能只定性分析．