Question

3．在x軸下方有一個場強(qiáng)為E₀的有理想邊界的勻強(qiáng)電場區(qū)域，場強(qiáng)方向沿+x方向，該區(qū)域是邊長為2L的正方形，邊界和頂點的坐標(biāo)如圖甲所示，某種帶正電的粒子從坐標(biāo)為（0，-2L）的P點以速度v₀沿+y方向射入電場，粒子恰好從電場右邊界的中點A射出電場，整個環(huán)境為真空中且粒子重力忽略不計．
（1）求該帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）將原勻強(qiáng)電場區(qū)域改為如圖乙所示的交變電場，交變電場變化的周期為T=$\frac{L}{2{v}_{0}}$，從t=0開始，每個周期T內(nèi)，前$\frac{T}{5}$內(nèi)場強(qiáng)為+4E₁，后$\frac{4T}{5}$內(nèi)場強(qiáng)為-E₁（場強(qiáng)沿+x方向為正），大量的上述粒子仍然以速度v₀從P點沿+y方向持續(xù)射和有界電場，最終所有粒子恰好全部能從有界電場的上邊界離開電場（即向上穿過x軸），求圖乙中E₁的值；（忽略粒子間的相互作用力）
（3）在圖甲的x軸上方某區(qū)域內(nèi)存在一個圓形的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直于xOy坐標(biāo)平面，要使在（2）問情境下所有從電場上邊界離開電場的粒子經(jīng)過該磁場集團(tuán)后都能會聚于坐標(biāo)為（2L，3L）的C點，求符合要求的圓形區(qū)域的最小半徑r和與之對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中沿+y方向做勻速直線運(yùn)動，在沿+x方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律分別列式聯(lián)立求解可得粒子的比荷；
（2）根據(jù)電場變化分段利用牛頓第二定律求得加速度，因為所有粒子恰好能從有界電場的上邊界離開電場，可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{5}$T 時刻進(jìn)入電場的粒子恰好分別從電場區(qū)域的右上角、左上角離開電場，根據(jù)勻變速運(yùn)動位移公式求得電場強(qiáng)度；
（3）洛倫茲力提供向心力，由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$解得半徑，作圖，符合“都能會聚在C點”條件的磁場區(qū)域的最小圓和最大圓分別如圖的O₁和O₂，只要讓C點在圓形磁場區(qū)域的水平直徑的右端點上，半徑介于O₁和O₂的半徑之間，都能達(dá)到“都能會聚在C點”的目的，從x=-L離開電場的粒子若能進(jìn)入圓形磁場區(qū)，就能保證所有粒子能進(jìn)入磁場區(qū)，如圖乙中圓O₁是符合條件的最小圓，結(jié)合幾何關(guān)系求得符合要求的圓形區(qū)域的最小半徑r和與之對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過時間t₀打在A點，沿+y方向有：L=v₀t₀
沿+x方向有：L=$\frac{1}{2}$×$\frac{{E}_{0}q}{m}$×t₀²
聯(lián)立解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{{E}_{0}L}$
（2）粒子通過電場區(qū)的時間：t=$\frac{2L}{v0}$=4T （已知T=$\frac{L}{2{v}_{0}}$）
分析：從t=0時刻開始，粒子在電場中運(yùn)動時，每個場強(qiáng)變化周期的前1/5時間內(nèi)的加速度大小a₁=$\frac{4{E}_{1}q}{m}$，沿+x方向；在每個場強(qiáng)變化周期的后4/5時間內(nèi)加速度大小a₂=$\frac{{E}_{1}q}{m}$，沿-x方向．
不同時刻從P點進(jìn)入電場的粒子在電場方向的速度v_x隨時間t變化的關(guān)系如圖1所示．

因為所有粒子恰好能從有界電場的上邊界離開電場，可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{5}$T 時刻進(jìn)入電場的粒子恰好分別從電場區(qū)域的右上角、左上角離開電場．它們在電場方向偏移的距離最大為L，有：
當(dāng)場強(qiáng)為4E₁時加速度為：a₁=$\frac{4{E}_{1}q}{m}$
當(dāng)場強(qiáng)為E₁時加速度為：a₂=$\frac{{E}_{1}q}{m}$
L=（$\frac{1}{2}$T•$\frac{{a}_{1}T}{5}$）×4
解得  E₁=$\frac{5}{4}$E₀ 
（3）由圖1可知，所有粒子射出電場時，x方向分速度為零，速度方向都平行于y軸，大小都是v₀．設(shè)粒子在磁場中的運(yùn)動半徑為r，則
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$  
粒子平行進(jìn)入圓形磁場區(qū)域內(nèi)要能會聚于C點，則磁場區(qū)半徑R與軌道半徑必須相等，且C點必須處在圓形磁場區(qū)域的水平直徑的右端點上，即：R=r  

分析：如圖所示，符合“都能會聚在C點”條件的磁場區(qū)域的最小圓和最大圓分別如圖的O₁和O₂，只要讓C點在圓形磁場區(qū)域的水平直徑的右端點上，半徑介于O₁和O₂的半徑之間，都能達(dá)到“都能會聚在C點”的目的．
從x=-L離開電場的粒子若能進(jìn)入圓形磁場區(qū)，就能保證所有粒子能進(jìn)入磁場區(qū)，如圖乙中圓O₁是符合條件的最小圓，則
圓形磁場區(qū)的最小半徑為：R_min=$\frac{3}{2}$L 
對應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值為：B=B_max=$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$=$\frac{{E}_{0}}{3{v}_{0}}$．
答：（1）該帶電粒子的比荷為$\frac{2{v}_{0}^{2}}{{E}_{0}L}$；
（2）乙中E₁的值為$\frac{5}{4}$E₀；
（3）符合要求的圓形區(qū)域的最小半徑r和與之對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{{E}_{0}}{3{v}_{0}}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場中和磁場中的運(yùn)動，理清粒子的運(yùn)動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，處理粒子在磁場中運(yùn)動問題，要會確定粒子做圓周運(yùn)動的圓心、半徑和圓心角，知道運(yùn)動時間和周期和圓心角之間的關(guān)系．