Question

17．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限存在與x軸負(fù)方向成30°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)為E（大小未知），在第二象限內(nèi)有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E′，在第四象限的某區(qū)域存在一矩形磁場(chǎng)（圖中未畫出），其方向垂直紙面向里．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以平行x軸正方向的速度v₀從第二象限中的P點(diǎn)射入電場(chǎng)，從坐標(biāo)原點(diǎn)O離開電場(chǎng)進(jìn)人磁場(chǎng)，再經(jīng)x軸上的某點(diǎn)離開磁場(chǎng)進(jìn)人第一象限的電場(chǎng)，最后經(jīng)過y軸上的N點(diǎn)進(jìn)人第二象限的電場(chǎng)，已知粒子的重力不計(jì)，電場(chǎng)強(qiáng)度E與磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足關(guān)系式$\frac{E}{B}$=v₀，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-l，$\frac{\sqrt{3}}{2}$l），N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$l）．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積；
（3）兩勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E′與E的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件變形求得E
（2）畫出粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，作出最小磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線，求出面積
（3）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求E′，從而求出比值

解答 解（1）根據(jù)題意得：$E=B{v}_{0}^{\;}$
（2）在電場(chǎng)E′中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線交水平位移的中點(diǎn)，設(shè)O點(diǎn)速度與水平方向的夾角為θ，有：
$tanθ=\frac{\frac{\sqrt{3}l}{2}}{\frac{l}{2}}=\sqrt{3}$
得：θ=60°，
根據(jù)幾何關(guān)系有：${v}_{O}^{\;}=2{v}_{0}^{\;}$
在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心角2θ=120°，洛倫茲力提供向心力，有：
$q（2{v}_{0}^{\;}）B=m\frac{（2{v}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
最小的矩形面積為：${S}_{min}^{\;}=（2Rcos30°）（R-Rsin30°）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{\;}^{2}$=$\frac{2\sqrt{3}{m}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$
（3）粒子離開矩形磁場(chǎng)邊界進(jìn)入第一象限時(shí)，速度方向與x軸夾角為60°，△OBC是等邊三角形，粒子進(jìn)入進(jìn)入第一象限速度方向與電場(chǎng)線垂直，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)
垂直電場(chǎng)線方向：$（\sqrt{3}l-R）cos30°=2{v}_{0}^{\;}t′$
沿電場(chǎng)線方向：$（\sqrt{3}l-R）sin3{0}_{\;}^{°}+2R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{\;}^{'2}$
在第二象限的電場(chǎng)E′中：水平方向$l={v}_{0}^{\;}t$
$\frac{\sqrt{3}l}{2}=\frac{1}{2}\frac{qE′}{m}{t}_{\;}^{2}$
聯(lián)立得$E′=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{ql}$
$\frac{E′}{E}=\frac{\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{ql}}{B{v}_{0}^{\;}}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{qBl}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小$B{v}_{0}^{\;}$；
（2）矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積$\frac{2\sqrt{3}{m}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$；
（3）兩勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E′與E的比值$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{qBl}$

點(diǎn)評(píng) 本題題目過程較多，知識(shí)點(diǎn)分析較多，整體而言題目很基礎(chǔ)，主要考查的是帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)．