Question

（2013?百色模擬）宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上，從P點沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為θ，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球的密度ρ；
（2）人造衛(wèi)星圍繞該星球做勻速圓周運動的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)平拋運動的分位移公式列式求解重力加速度；然后結合衛(wèi)星的萬有引力提供向心力列式求解星球的密度；
（2）衛(wèi)星越低越慢，結合衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解最小周期T．

解答：解：（1）在斜坡上方做平拋運動時，設P、Q之間的距離為L，則有：
水平方向：Lcosθ=v₀t
豎直方向：Lsinθ=

1

2

gt2
解得：g=

2v0tanθ

t

設小球質量為m，在星球表面有：
G

Mm

R2

=mg
又ρ=

M

V

解得：ρ=

3v0tanθ

2πRtG

（2）衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有：
G

Mm

R2

=m(

2π

T

)2R
解得：T=2πR

t 2v0Rtanθ

答：（1）該星球的密度ρ為

3v0tanθ

2πRtG

；
（2）人造衛(wèi)星圍繞該星球做勻速圓周運動的最小周期T為2πR

t 2v0Rtanθ

．

點評：本題關鍵是通過平拋運動測量重力加速度，然后結合衛(wèi)星的萬有引力提供向心力列式分析．