Question

7．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長為L的輕質(zhì)細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，與O點(diǎn)處于同一水平線的P點(diǎn)處有一根光滑的細(xì)釘，已知OP=$\frac{L}{2}$，在A點(diǎn)給小球一個(gè)水平向左的初速度v₀，發(fā)現(xiàn)小球到達(dá)跟P點(diǎn)在同一豎直線上的最高點(diǎn)B時(shí)繩的拉力為$\frac{1}{2}$mg．
（1）若不計(jì)空氣阻力，則給小球的初速度v₀應(yīng)該多大？
（2）若其他條件不變，當(dāng)v₀=2$\sqrt{gL}$時(shí)，則小球從點(diǎn)A到B的過程中克服空氣阻力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）對小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求得速度，然后由機(jī)械能守恒求得初速度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得運(yùn)動(dòng)過程克服空氣阻力做的功．

解答 解：（1）因小球到達(dá)跟P點(diǎn)在同一豎直線上的最高點(diǎn)B，所以由圓周運(yùn)動(dòng)的知識，對小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg+\frac{1}{2}mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{\frac{1}{2}L}$，那么，${v}_{B}=\frac{\sqrt{3gL}}{2}$；
小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mg（L+\frac{1}{2}L）+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{15}{8}mgL$，所以，${v}_{0}=\frac{\sqrt{15gL}}{2}$；
（2）對小球從A到B的過程中應(yīng)用動(dòng)能定理可得：小球從點(diǎn)A到B的過程中克服空氣阻力做功$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-mg（L+\frac{1}{2}L）=\frac{1}{8}mgL$；
答：（1）若不計(jì)空氣阻力，則給小球的初速度v₀應(yīng)該為$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$；
（2）若其他條件不變，當(dāng)v₀=2$\sqrt{gL}$時(shí)，則小球從點(diǎn)A到B的過程中克服空氣阻力做功為$\frac{1}{8}mgL$．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．