Question

【題目】如圖所示（俯視），MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌．兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=0．2m，其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1=5．0T。導(dǎo)軌上NQ之間接一電阻R1=0．40，阻值為R2=0．10的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持良好接觸。兩導(dǎo)軌右端通過金屬導(dǎo)線分別與電容器C的兩極相連。電容器C緊靠著帶小孔a（只能容一個(gè)粒子通過）的固定絕緣彈性圓筒。圓筒內(nèi)壁光滑，筒內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2，O是圓筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑為r=0．40m。

（1）用一個(gè)大小恒為10N，平行于MN水平向左的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開始向左運(yùn)動(dòng)求：當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)桿的速度大小；

（2）當(dāng)金屬桿處于（1）問中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器C內(nèi)緊靠極板且正對(duì)a孔的D處有一個(gè)帶正電的粒子從靜止開始經(jīng)電容器C加速后從a孔垂直磁場(chǎng)B2并正對(duì)著圓心O進(jìn)入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒。已知粒子的比荷q/m=5×107（C/kg），該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，不計(jì)粒子重力和空氣阻力，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B2 多大（結(jié)果允許含有三角函數(shù)式）。

Answer 1

【答案】（1）

（2）（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為 得：

（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為 將數(shù)據(jù)代式得

【解析】（1）金屬桿先做加速度變小的加速運(yùn)動(dòng)，最終以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v，

將已知數(shù)據(jù)代入得：

（2）設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為V．在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由于C與電阻R1并聯(lián)，

據(jù)歐姆定律得，

據(jù)動(dòng)能定理有，

帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時(shí)無電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變．速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱性，由5段相同的圓弧組成，設(shè)每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，則由幾何關(guān)系可得：

有兩種情形符合題意（如圖所示）：

（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

得：

（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

將數(shù)據(jù)代式得