Question

14．如圖所示，曲線Ⅰ是一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道，其半徑為R，曲線Ⅱ是另一顆衛(wèi)星繞地球做橢圓運動的軌道，O點為地球的地心，AB為橢圓的長軸，兩軌道和地心都在同一平面內(nèi)，已知兩衛(wèi)星在軌道上運動的周期相等，萬有引力常量為G，地球質(zhì)量為M，則下列說法正確的是（　　）

• A． 橢圓軌道的長軸長度為4R
• B． 衛(wèi)星在Ⅰ軌道上加速度大小為a₀，衛(wèi)星在Ⅱ軌道上經(jīng)B點時加速度大小為a_B，則有a₀＜a_B
• C． 衛(wèi)星在Ⅰ軌道上速率為v₀，衛(wèi)星在Ⅱ軌道上經(jīng)B點時速率為v_B，則v₀＞v_B
• D． 若OA=0.4R，則衛(wèi)星經(jīng)B點時速率v_B＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$

Answer 1

分析 根據(jù)開普勒定律比較長軸與R的關(guān)系，根據(jù)萬有引力的大小，通過牛頓第二定律比較加速度，結(jié)合速度的大小比較向心加速度的大�。�

解答 解：A、根據(jù)開普勒第三定律得$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，a為半長軸，己知衛(wèi)星在兩軌道上運動的衛(wèi)星的周期相等，所以橢圓軌道的長軸長度為2R，故A錯誤；
B、根據(jù)牛頓第二定律得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，衛(wèi)星在Ⅰ軌道距離地心的距離小于衛(wèi)星在Ⅱ軌道B點距離地心的距離，所以a₀＞a_B．故B錯誤；
C、B點為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點，速度比較小，v₀表示做勻速圓周運動的速度，v₀＞v_B，故C正確；
D、若OA=0.4R，則OB=1.6R，
人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
如果衛(wèi)星以O(shè)B為軌道半徑做勻速圓周運動，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{5GM}{8R}}$＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，
在Ⅱ軌道上，衛(wèi)星在B點要減速，做近心運動，所以衛(wèi)星在B點的速率v_B＜$\sqrt{\frac{5GM}{8R}}$$＜\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，故D正確；
故選：CD

點評 本題考查萬有引力定律、開普勒第三定律、牛頓第二定律等知識，知道衛(wèi)星變軌的原理是解決本題的關(guān)鍵，難度適中．