Question

1．如圖所示，在光滑的水平金屬軌道 ABCD-EFGH 內(nèi)有豎直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為 B，AB與 EF 寬為 L，是 CD 與GH 寬的2倍，靜止的金屬棒a、b質(zhì)量均為 m．若給棒a初速度v₀向右運動，假設(shè)軌道足夠長，棒a只在軌道 AB 與 EF 上運動．
求：（1）金屬棒a、b的最終速度．
（2）整個過程通過金屬棒a的電量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平衡狀態(tài)得到兩者最終速度關(guān)系；由a、b的受力關(guān)系得到加速度關(guān)系，進而得到速度變化量的關(guān)系，帶入初始速度，聯(lián)立前面的速度關(guān)系即可得到速度大�。�
（2）對a的任一極短時間段運用動量定理，疊加后，即可得到電量的表達式．

解答 解：金屬軌道光滑，所以，在運動過程a、b不受摩擦力，則在水平方向只有安培力．
（1）給棒a初速度v₀向右運動，則a的電流指向外，b的電流指向里，那么，a所受安培力指向左，b所受安培力指向右；
所以，棒a向右做減速運動，棒b向右做加速運動，兩者產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向相反．當(dāng)兩者產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小相等，電流為零，達到穩(wěn)定平衡狀態(tài)．
AB與 EF 寬為 L，是 CD 與GH 寬的2倍，所以，CD 與GH 寬為$\frac{1}{2}L$．
a的電動勢E_a=BLv_a，b的電動勢${E}_=\frac{1}{2}BL{v}_$，
因為E_a=E_b，所以，${v}_{a}=\frac{1}{2}{v}_$…①．
若設(shè)閉合電路電流為I，則有任意時刻，a所受安培力F_a=BIL，b所受安培力${F}_=\frac{1}{2}BIL$；
所以，F(xiàn)_a=2F_b
因為金屬棒a、b質(zhì)量均為 m，所以，加速度有：a_a=2a_b，
速度的變化量有：△v_a=2△v_b，即v₀-v_a=2v_b…②．
聯(lián)立①②式可得：${v}_{a}=\frac{1}{5}{v}_{0}，\;{v}_=\frac{2}{5}{v}_{0}$．
（2）對金屬棒任一極短時間△t應(yīng)用動量定理，可得：-BIL•△t=m△v，即-BL•△q=m•△v…③；
因為在任一極短時間式③都成立，那么，在整個過程式③也成立，則有
$-BLq=m{v}_{a}-m{v}_{0}=-\frac{4}{5}m{v}_{0}$
$q=\frac{4m{v}_{0}}{5BL}$．
答：（1）金屬棒a、b的最終速度${v}_{a}=\frac{1}{5}{v}_{0}，\;{v}_=\frac{2}{5}{v}_{0}$；
（2）整個過程通過金屬棒a的電量$q=\frac{4m{v}_{0}}{5BL}$．

點評 運用動量定理要注意，在所運用的時間間隔內(nèi)，力應(yīng)該不變；若力改變，則應(yīng)該可求出這段時間的平均作用力，如線性變化的作用力這類可求出平均值的力．