Question

如圖所示，在NOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I，在MOQ范圍內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，M、O、N在一條直線上，∠MOQ=60°．這兩個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．離子源中的正離子（帶電量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力）通過小孔O₁進(jìn)入極板間電壓為U的加速電場(chǎng)區(qū)域（可認(rèn)為初速度為零），離子經(jīng)電場(chǎng)加速后通過小孔O₂射出，從接近O點(diǎn)處進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域I．離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度垂直于磁場(chǎng)邊界MN，也垂直于磁場(chǎng)．
（1）當(dāng)加速電場(chǎng)極板電壓U=U₀，求離子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R；
（2）在OQ上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)到O點(diǎn)距離為L(zhǎng)，當(dāng)加速電場(chǎng)極板電壓U₁時(shí)，離子恰好通過P點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ，求U₁的值；
（3）當(dāng)加速電場(chǎng)極板電壓U取哪些值，才能保證離子通過P點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）離子在電場(chǎng)中加速時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求解獲得的速度．離子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力，離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求解離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R．
（2）OQ是一條直線，離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與OQ的夾角為30°，做出運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)分析得知R與L之間的關(guān)系，然后求出電壓；
（3）離子每次經(jīng)過OQ一次，速度偏轉(zhuǎn)60°，沿OQ方向前進(jìn)的距離等于半徑R，若離子能通過P點(diǎn)，則有 L=nR，即可求解加速電壓．

解答：解：（1）離子在電場(chǎng)中加速時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
qU0=

1

2

m

v

2 0

 離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力有：
qv0B=

m v 2 0

R

解得：R=

1

B

2mU0 q

（2）離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知：
R₁=L
又：qU1=

1

2

m

v

2 1

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qv1B=

m v 2 1

R1

解得：U1=

qB2L2

2m

（3）要保證離子通過P點(diǎn)，必須有：L=nR
解得：U=

qB2L2

2mn2

，其中n=1，2，3，…
答：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

1

B

2mU0 q

；．
（2）當(dāng)加速電場(chǎng)極板電壓U1=

qB2L2

2m

時(shí)，離子恰好通過P點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ，
（3）當(dāng)加速電場(chǎng)極板電壓U=

qB2L2

2mn2

，其中n=1，2，3，…取哪些值，才能保證離子通過P點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題分析離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵要抓住離子經(jīng)過OQ邊界時(shí)速度方向與邊界的夾角相等，根據(jù)周期性求解半徑，確定加速電壓．