Question

19．如圖所示，長為l=1m的平行板電容器，AB和CD兩板的間距也為l．兩板的帶電性質(zhì)如圖．某粒子源沿平行板中心軸線發(fā)射出速度都為v₀=2×10⁴m/s的比荷為1×10⁴C/kg的正粒子．在平行板的右側(cè)有3個熒光屏，分別放置在AB板B的邊緣上方，CD板D邊緣下方和距離BD右邊x=$\frac{0.2}{\sqrt{3}}$m處，且足夠大，屏和平行板垂直，如圖所示，在BD和右板之間的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.1T的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里．不考慮粒子的重力，認(rèn)為平行板內(nèi)為勻強(qiáng)電場，板外無電場．（答案可用根號表示）．
（1）若要求所有粒子都能從兩板間射出，求兩板能加電壓的范圍；
（2）討論粒子打在熒光屏上的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)類平拋運(yùn)動規(guī)律求粒子通過電場所用的時間以及兩極板間的電壓大��；
（2）求出粒子平拋運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角，作出磁場中圓周運(yùn)動的軌跡，由牛頓第二定律求出運(yùn)動的半徑，然后由幾何關(guān)系確定半徑，即可求出．

解答 解：（1）粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動，運(yùn)動的時間：$t=\frac{l}{{v}_{0}}=\frac{1}{2×1{0}^{4}}=5×1{0}^{-5}$m/s
若下極板帶正電，上極板帶負(fù)電，則正電荷受到的電場力的方向向上，設(shè)極板之間的電壓為U時粒子恰好從B點(diǎn)射出，則：
$a=\frac{qU}{ml}$，
位移：$y=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
聯(lián)立得：$U=\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$
代入數(shù)據(jù)得：U=4×10⁴V/m
即：${U}_{CA}=4×1{0}^{4}$V/m
若上極板帶正電，下極板帶負(fù)電，則正電荷受到的電場力的方向向下，粒子從D點(diǎn)射出．此時：${U}_{AC}=4×1{0}^{4}$V/m
所以要求所有粒子都能從兩板間射出，兩板能加電壓的范圍是$-4×1{0}^{4}V/m≤{U}_{AC}≤4×1{0}^{4}V/m$．
（2）粒子在向里的磁場中向右運(yùn)動，由左手定則可知，粒子在磁場中受到的洛倫茲力的方向向上，所以粒子將向上偏轉(zhuǎn)．
粒子從D點(diǎn)或從B點(diǎn)射出時，沿電場方向的分速度：${v}_{y}=at=\frac{qU}{ml}•\frac{l}{{v}_{0}}$=v₀
粒子的合速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
與水平方向之間的夾角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，所以θ=45°
粒子在磁場中受到的洛倫茲力通過向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}=\frac{1}{1×1{0}^{4}}×\frac{\sqrt{2}×2×1{0}^{4}}{0.1}=20\sqrt{2}$m
帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖，則：
由于粒子射出的方向與水平方向之間的夾角都是45°，所以對于下側(cè)的粒子則滿足：
$（\frac{\sqrt{2}}{2}r+{y}_{1}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}r-x）^{2}={r}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：y₁≈0.108m
到O′點(diǎn)的距離為：l+y₁=1.108m
對于下側(cè)的粒子則滿足：${（\frac{\sqrt{2}}{2}r-{y}_{2}）}^{2}+{（\frac{\sqrt{2}}{2}r+x）}^{2}={r}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：y₂=0.115m
到O′點(diǎn)的距離為：l+y₂=1.115m
由圖可知，沒有粒子打在左側(cè)的熒光屏上．
所以粒子打在熒光屏上的范圍是-1.108m≤y≤1.115m．
答：（1）若要求所有粒子都能從兩板間射出，兩板能加電壓的范圍是$-4×1{0}^{4}V/m≤{U}_{AC}≤4×1{0}^{4}V/m$；
（2）粒子打在熒光屏上的范圍是-1.108m≤y≤1.115m．．

點(diǎn)評 解得此類問題，首先要正確的對帶電粒子在這兩種情況下進(jìn)行正確的受力分析，確定粒子的運(yùn)動類型．解決帶電粒子垂直射入電場的類型的題，應(yīng)用平拋運(yùn)動的規(guī)律進(jìn)行求解．
該題中粒子的半徑比較大，而磁場的寬度比較小，對解答的過程有一定的影響，使數(shù)據(jù)的運(yùn)算比較復(fù)雜．