Question

如圖，在0≤x≤d的空間，存在垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直xOy平面向里．y軸上P點(diǎn)有一小孔，可以向y軸右側(cè)垂直于磁場(chǎng)方向不斷發(fā)射速率均為v、與y軸所成夾角θ可在0～180范圍內(nèi)變化的帶負(fù)電的粒子．已知θ=45°時(shí)，粒子恰好從磁場(chǎng)右邊界與P點(diǎn)等高的Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)重力及粒子間的相互作用．求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）若θ=30°，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角（可用三角函數(shù)、根式表示）；
（3）能夠從磁場(chǎng)右邊界射出的粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過的區(qū)域的面積（可用根式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)θ=45°時(shí)，粒子恰好從磁場(chǎng)右邊界與P點(diǎn)等高的Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系確定已知長度與軌道半徑的關(guān)系，從而根據(jù)半徑公式，可求出磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）由已知入射角與半徑的長度，根據(jù)幾何關(guān)系，借助于三角形的正弦定理，可確定粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角．
（3）根據(jù)不同的入射速度方向，畫出兩種臨界狀態(tài)：一是沿著正y軸方向入射的軌跡；另一是與磁場(chǎng)右邊界相切的軌跡．并由幾何公式求出經(jīng)過的區(qū)域面積．
解答：解：（1）當(dāng)θ=45°時(shí)，粒子恰好從磁場(chǎng)右邊界與P點(diǎn)等高的Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)，
由幾何關(guān)系可得，d=Rcos45°
解得：
粒子僅在洛倫茲力作用下，則有：
所以，
（2）根據(jù)半徑的大小與入射角30°，可畫出右圖，
△AMd中，∠MdA=60°，AM=R，Ad=，
則三角形正弦定理可得，，
設(shè)粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角為β，則有=
所以
（3）根據(jù)不同的入射速度方向，畫出兩種臨界狀態(tài)：一是沿著正y軸方向入射的軌跡；另一是與磁場(chǎng)右邊界相切的軌跡
因此能夠從磁場(chǎng)右邊界射出的粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過的區(qū)域的面積=圖上方的扇形面積+下方菱形面積+右邊的三角形面積-下方的扇形面積
=下方菱形面積面積+右邊的三角形面積．
即有：
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，依據(jù)幾何特性作圖是解題的關(guān)鍵之處．是典型的數(shù)理結(jié)合的題型，是難題．