已知某行星的質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的衛(wèi)星圍繞該行星的半徑為R，求該衛(wèi)星的角速度、線速度、周期和向心加速度各是多少？

已知地球的半徑為R，地面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，如果不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，試推證地球的平均密度的表達(dá)式．

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”，“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個(gè)恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體．如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，兩星質(zhì)量質(zhì)量分別為m₁、m₂．求：m₁：m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度（用m₁、m₂、G表示）．

某衛(wèi)星在赤道上空做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面與赤道平面重合，運(yùn)行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，軌道半徑為r=2R，地球半徑為R，地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，地球表面重力加速度為g．在某時(shí)刻該衛(wèi)星正通過赤道上某建筑物的正上方，試求到它下一次通過該建筑正上方所需時(shí)間t多長(zhǎng)？

（1）開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即

a3

T2

=k，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請(qǐng)你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M_太．
（2）一均勻球體以角速度ω繞自己的對(duì)稱軸自轉(zhuǎn)，若維持球體不被瓦解的唯一作用力是萬有引力，則此球的最小密度是多少？

天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．經(jīng)觀測(cè)某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星A、B圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T．已知恒星A、B之間的距離為L(zhǎng)，A、B的質(zhì)量之比2：1，萬有引力常量為G，求：
（1）恒星A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R_A；
（2）雙星的總質(zhì)量M．

已知地球和月球的近地衛(wèi)星周期之比T₁：T₂=a，在地球和月球表面同一斜面上以同一初速度水平拋出物體，其拋出點(diǎn)和斜面上落點(diǎn)位移之比x₁：x₂=b．
（1）地球和月球表面重力加速度之比
（2）地球和月球上第一宇宙速度之比．

我國(guó)“嫦娥一號(hào)”月球探測(cè)器在繞月球成功運(yùn)行之后，為進(jìn)一步探測(cè)月球的詳細(xì)情況，又發(fā)射了一顆繞月球表面飛行的科學(xué)試驗(yàn)衛(wèi)星．假設(shè)衛(wèi)星繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，月球繞地球也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)．己知衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)周期T₀，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R₀，月心與地心間的距離為r_om，引力常量G，試求：
（1）月球的平均密度ρ
（2）月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T．

中國(guó)計(jì)劃在2017年實(shí)現(xiàn)返回式月球軟著陸器對(duì)月球進(jìn)行科學(xué)探測(cè)，屆時(shí)發(fā)射一顆運(yùn)動(dòng)半徑為r的繞月衛(wèi)星．登月著陸器從繞月衛(wèi)星出發(fā)，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經(jīng)多次碰撞和彈跳才停下來．假設(shè)著陸器第一次彈起的最大高度為h，水平速度為v₁，第二次著陸時(shí)速度為v₂．已知月球半徑為R，求：在月球表面發(fā)射人造月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．

物體在萬有引力場(chǎng)中具有的勢(shì)能叫做引力勢(shì)能．取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢(shì)能為零，一個(gè)質(zhì)量為m₀的質(zhì)點(diǎn)距離質(zhì)量為M₀的引力源中心為r₀時(shí)．其引力勢(shì)能E_p=-

GM0m0

r0

（式中G為引力常數(shù)）．現(xiàn)有一顆質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以圓形軌道環(huán)繞地球飛行，由于受高空稀薄空氣的阻力作用，衛(wèi)星的圓軌道半徑從r₁緩慢減小到r₂．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，求此過程中衛(wèi)星克服空氣阻力做功W_f．（用m、R、g、表示）