1．(人教A版選修2-3第22頁例4)

用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) ？

變式1： 由1，4，5，x可組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各位數(shù)字之和為288，則x＝　　　　　　 　．

[解析]：(1+4+5+x)=288，解得10+x=12．

[答案]：x=2．

變式2：在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有 (　　 )

(A)56個(gè)　　　(B)57個(gè)　　(C)58個(gè)　　(D)60個(gè)

[解答]解法一：(直接法)

當(dāng)首位排2，次位排3時(shí)，有A-1種；次位排4、5時(shí)有2 A種，共計(jì)17種；

當(dāng)首位排3，A種，共計(jì)24種；

當(dāng)首位排4，次位排3時(shí)，有A-1種；次位排1、2時(shí)有2 A種，共計(jì)17種；

以上總計(jì)17+24+17=58種。

解法二：(間接法)

不作限定時(shí)有=120種；

當(dāng)首位排1或5時(shí)，各有A種，共計(jì)48種不滿足要求；

當(dāng)首位排2，次位排1時(shí)，有A種；而次位排3時(shí)有1種，共計(jì)7種不滿足要求；

當(dāng)首位排4，次位排5時(shí)，有A種；而次位排3時(shí)有1種，共計(jì)7種不滿足要求；

因此共有120-48-7-7=58種排法，即58個(gè)數(shù)．

變式3：給定數(shù)字0、1、2、3、5、9每個(gè)數(shù)字最多用一次

(1)可能組成多少個(gè)四位數(shù)？

(2)可能組成多少個(gè)四位奇數(shù)？

(3)可能組成多少個(gè)四位偶數(shù)？

(4)可能組成多少個(gè)自然數(shù)？

[分析]：注意0不能放在首位，還要注意個(gè)位數(shù)字，方法多種多樣，利用特殊優(yōu)先法，即特殊的元素，特殊的位置優(yōu)先考慮．

[解答](1)解法一：從“位置”考慮，由于0不能放在首位，因此首位數(shù)字只能有種取法，其余3個(gè)數(shù)位可以從余下的5個(gè)數(shù)字(包括0)中任取3個(gè)排列，所以可以組成個(gè)四位數(shù)；

解法二：從“元素”考慮，組成的四位數(shù)可以按有無數(shù)字0分成兩類，有數(shù)字0的有個(gè)，無數(shù)字0的有個(gè)，所以共組成+=300個(gè)四位數(shù)；

解法三：“排除法”從6個(gè)元素中取4個(gè)元素的所有排列中，減去0在首位上的排列數(shù)即為所求，所以共有個(gè)四位數(shù)；

(2)從“位置”考慮，個(gè)位數(shù)字必須是奇數(shù)有種排法，由于0不能放在首位，因此首位數(shù)字只能有種取法，其余兩個(gè)數(shù)位的排法有，所以共有個(gè)四位奇數(shù)；

(3)解法一：由(1)(2)知共有300-192=108個(gè)四位偶數(shù)；

解法二：從“位置”考慮，按個(gè)位數(shù)字是否為0分成兩種情況，0在個(gè)位時(shí)，有個(gè)四位偶數(shù)；2在個(gè)位時(shí)，有個(gè)四位偶數(shù)，所以共有+=108個(gè)四位偶數(shù)；

(4)一位數(shù)：有=6個(gè)；

兩位數(shù)：有=25個(gè)；

三位數(shù)：有=100個(gè)；

四位數(shù)：有=300個(gè)；

五位數(shù)：有=600個(gè)；

六位數(shù)：有=600個(gè)；

所以共有6+25+100+300+600+600=1631個(gè)自然數(shù)．

[點(diǎn)評(píng)]解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素占位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數(shù)字的排列問題，0不能排在首位．

2．(人教A版選修2-3第29頁例4)

在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2 件次品，從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件。

(1)有多少種不同的抽法 ？

(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種 ？

(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種 ？

變式1：某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？

[分析]：分類討論，由于情況太多，要做到不重不漏．

[解答]出牌的方法可分為以下幾類：

(1)5張牌全部分開出，有種方法；　　

(2)2張2一起出，3張A一起出，有種方法；　　

(3)2張2一起出，3張A分開出，有種方法；　　

(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有種方法；　

(5)2張2分開出，3張A一起出，有種方法；　　

(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有種方法；

因此，共有不同的出牌方法種．

[點(diǎn)評(píng)]分類討論一直是高中的難點(diǎn)，但更是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，所以同學(xué)們不能回避，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．

變式2：將7個(gè)小球任意放入四個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，

　 (1)若7個(gè)小球相同，共有多少種不同的放法？

　 (2)若7個(gè)小球互不相同，共有多少種不同的放法？

[解析]：(1)解法1：∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，

∴分三類，共有分法

解法2(隔板法)：將7個(gè)小球排成一排，插入3塊隔板，

故共有分法

　 (2)∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，

∴共有分法

變式3：一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，

　 (1)從中任取4個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？

　 (2)若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的

取法有多少種？

[解析]：(1)將取出4個(gè)球分成三類情況1)取4個(gè)紅球，沒有白球，有種　 2)取3個(gè)紅球1個(gè)白球，有種；3)取2個(gè)紅球2個(gè)白球，有

3．(人教A版選修2-3第36頁例2)

(1)求 　的展開式的第 4 項(xiàng)的系數(shù) ；

(2)求 　的展開式中 　的系數(shù) ？

變式1：在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．

(1)求展開式的第四項(xiàng)；

(2)求展開式的常數(shù)項(xiàng)；

(3)求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和．

[分析]：本題旨在訓(xùn)練二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的運(yùn)用．

[解答]第一項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為，第二項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為，第三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為，

依題意有+=，解得n=8，

(1)第四項(xiàng)；

(2)通項(xiàng)公式為，展開式的常數(shù)項(xiàng)有2r-8=0，即r=4，

常數(shù)項(xiàng)為；

(3)令x=1，得展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和．

[點(diǎn)評(píng)]本題旨在訓(xùn)練二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的運(yùn)用，但要注意通項(xiàng)為而不是，這是同學(xué)們最容易出錯(cuò)的地方．

變式2：設(shè)．

(1)求；

(2)求；

(3)求；

(4)求；

(5)求各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和．

[分析]：本題旨在訓(xùn)練二項(xiàng)展開式各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)．

[解答](1)令x=1得；

(2)令x=-1得，

而由(1)知：，

兩式相加得；

(3)將(2)中的兩式相減得；

(4)令x=0得，得-=16-1=15；

(5)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為．

[點(diǎn)評(píng)]①要注意二項(xiàng)展開式各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念；②系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和不一定相同，本題的(1)與(5)結(jié)果相同純屬巧合；③注意求系數(shù)和上述是最一般的方法，一定要理解．

變式3：二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是(　　 )

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

[解析]：(r = 0，1，2，…，14 )，

當(dāng)r = 3，9，15時(shí)，為有理項(xiàng)．

[答案]：A

變式4： 若，

求的值．

[解析]：令x=1得，

令x=-1得

=

=

=1

[答案]：1