1. 函數(shù) R) 的最小值是 .
解:令 ,則 .
當(dāng) 時(shí), ,得 ;
當(dāng) 時(shí), ,得
又 可取到 , 故填 .
2.手表的表面在一平面上。整點(diǎn)1,2,…,12這12個(gè)數(shù)字等間隔地分布在半徑為的圓周上。從整點(diǎn)i到整點(diǎn)(i+1)的向量記作,則= 。
解:連接相鄰刻度的線段構(gòu)成半徑為的圓內(nèi)接正12邊形。相鄰兩個(gè)邊向量的夾角即為正12邊形外角,為30度。各邊向量的長為 。 則。共有12個(gè)相等項(xiàng)。所以求得數(shù)量積之和為 。
3.設(shè),則對(duì)任意實(shí)數(shù),是的( A )
A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件
C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
解:顯然為奇函數(shù),且單調(diào)遞增。于是
若,則,有,即,從而有.
反之,若,則,推出 ,即 。
故選A。
4.橢圓的中心,右焦點(diǎn),右頂點(diǎn),右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)依次為
,則 的最大值為( ).
不能確定.
答:.
解: .(時(shí)取等號(hào))
5.過橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn) F作弦AB,則= 。
解:不妨設(shè)焦點(diǎn)F為右焦點(diǎn),則F(4,0)。當(dāng)ABx軸時(shí),A(4,),B(4,-)
所以=,故=
6.已知常數(shù),經(jīng)過定點(diǎn)A(0,-a)以(l,a)為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)B(0,a)以(1,-2la)為方向向量的直線相交于點(diǎn)P,其中試問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F,使得|PE|+|PF|為定值.若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解:根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.
因此,直線AP和BP的方程為
l(y+a)=ax 和 y-a=-2lax.
消去參數(shù)l,得點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程y2-a2=-2a2x2,
整理得 . ①
因?yàn)?i>a>0,所以得:
(ⅰ)當(dāng)時(shí),方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),方程①表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn):
(ⅲ)當(dāng)時(shí),方程①也表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).
7.已知A(2cos,),B(2cos,),C(-1,0)是平面上三個(gè)不同的點(diǎn),若存在,使得,試求的取值范圍。
解:由已知,可得
(2cos+1, )=(-1-2cos,-),
,,
由=1,得,
即,
若=-1,則,得,這與A,B兩點(diǎn)不重合矛盾,
因此,-1,于是,可知0,
,得,
解得3。
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