直線與平面平行
1. 直線與平面平行的判定
(1) 定義
(2) 判定
2. 直線與平面平行的性質(zhì)
(1)
(2)*
(3)*
[典型例題]
[例1] 正方形ABCD交正方形ABEF于AB(如圖所示)M、N在對(duì)角線AC、FB上且AM= FN。求證:MN //平面BCE
證:過(guò)N作NP//AB交BE于P,過(guò)M作MQ//AB交BC于Q
又 ∵ MQPN
[例2] 如圖,異面直線a、b,,,H為AB中點(diǎn),,,,,,。求證:N為PQ中點(diǎn)
證:連AQ交于M,連HM、NM
∴
[例3] ,,。求證:
證:過(guò)a作 ∴ 過(guò)a作
∴ ∴
[例4] 已知,,。求證:
假設(shè)過(guò)、A中確定平面
∵ ∴ 又 ∵ 與已知矛盾
∴ 假設(shè)不成立 ∴
[例5] a、b異面,求證過(guò)b與a平行的平面有且僅有一個(gè)。
證:存在性:過(guò)b上一點(diǎn)P作直線,確定平面 ∴
唯一性:假設(shè)存在
由例3 與已知矛盾 ∴ 只有一個(gè)
[例6] P為空間一點(diǎn),a、b異面,過(guò)P作與a、b均平行的平面可作幾個(gè)。
0個(gè)或1個(gè) 過(guò)a存在平面
過(guò)b存在平面
① 或 0個(gè)
② 且 1個(gè) 可用反證法證明只有一個(gè)
[例7] a、b異面直線,P為空間任一點(diǎn),過(guò)P作直線與a、b均相交,這樣的直線可以作多少條?
解:0、1或無(wú)數(shù) 過(guò)a存在唯一個(gè)平面,過(guò)b存在唯一個(gè)平面
① 若或有無(wú)數(shù)條
② 若或且且直線不存在
③ 且,有且只有一條
,過(guò)P、b作平面
∴ ∴
連PQ與b相交 ∴ 存在與a、b均相交
假設(shè)有兩條過(guò)P的直線、與a、b均相交 確定平面
a與各有一個(gè)交點(diǎn) ∴ 同理與a、b異面矛盾
∴ 假設(shè)不成立 ∴ 只有一條
[例8] a、b、c兩兩異面,空間與a、b、c,均相交的直線有多少條。
證:存在
存在
c與a、b異面,c中有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在、外,每一個(gè)點(diǎn)可作一條線與a、b均相交
∴ 無(wú)數(shù)條
[模擬試題]
1. ,a、b與、均垂直,則a、b的關(guān)系為( )
A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 以上均可能
2. 已知異面直線a、b成60°角,P為空間一點(diǎn),則過(guò)P且與a、b所成角均為60°的直線有( )
A. 2條 B. 3條 C. 4條 D. 無(wú)數(shù)條
3. 空間直線a,b滿足(1)與a異面;(2)與a成45°角;(3)與a距離為10cm,則這樣的b有( )
A. 1條 B. 2條 C. 4條 D. 無(wú)數(shù)條
4. P為 ABCD所在平面外一點(diǎn),,,且求證:
直線與平面平行參考答案
[試題答案]
1. D 2. B 3. D
4. 證:連BF交CD于H,連PH AB//CD ∴ ∽ ∴
在中
∴
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