直線綜合

1. 直線系

(1)平行直線系(為常數(shù)，為參數(shù))

(2)過定點(diǎn)直線系或(，為常數(shù)，為參數(shù))

(3)與：平行直線系　　 (為參數(shù))

(4)與：垂直的直線系：(為參數(shù))

(5)過直線：，：

交點(diǎn)的直線系：(為參數(shù))(不包含)

2. 對稱

P(，)關(guān)于點(diǎn)(，)的對稱點(diǎn)為：Q(，)

P(，)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為Q(，)

P(，)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為Q(，)

P(，)關(guān)于的對稱點(diǎn)為Q(，)

P(，)關(guān)于的對稱點(diǎn)為Q(，)

P(，)關(guān)于的對稱點(diǎn)為Q(，)

P(，)關(guān)于的對稱點(diǎn)為Q(，)

[典型例題]

[例1] 求點(diǎn)A(，4)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)。

解：

設(shè)A關(guān)于的對稱點(diǎn)B(，)

　　 ∴ B(，)

[例2] ：，：，求關(guān)于對稱的直線的方程。

解：

A(0，1)在點(diǎn)，它關(guān)于的對稱點(diǎn)，B(，)

由兩點(diǎn)式　　 ∴ ：

[例3] 光線通過點(diǎn)P(2，3)在直線上反射，反射線過點(diǎn)Q(1，1)，求入射光線、反射光線所在直線方程。

解：

(2，3)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，(，)

由兩點(diǎn)式：　 交點(diǎn)(，)

由兩點(diǎn)式：

[例4] 正中A(1，1)，中心M(5，3)，求三邊所在直線方程。

解：

　　 ∴ 　　AM交于BC于D，M分之比

∴ D=(7，4)　 ∴ ：

設(shè)AB、AC為：　

∴

[例5] ABC中，A(9，1)，B(3，4)，內(nèi)心I(4，1)，求C

　 　解：

AI∥軸　 ∴ 　　∴ ：

　 利用三角公式　 ∴ 　　　

∴ ：　　　 ∴ C(，4)

[例6] 已知中，A(，2)B(6，4)垂心H(5，2)，求C

解：

　　 ∴ 不存在　　 ∴ 　　　

∴ 　　∴ ：　 C(6，)

[例7] 已知，A(6，3)，B(，)，C(，)求。

解：

作圖，為BC到HC的角　　 ∴ 　　

∴ 　　∴

[例8] 中，AB、BC、CA邊的中點(diǎn)為D(，)E(1，3)F(2，0)，求三邊所在直線方程。

解：

　　 ∴ ：即

同理：　 ：

[例9] ，A(，)、B(6，)、C(，)，求的角平分線AT所在直線方程。

解：

設(shè)斜率為　 　　　　CA到AT的角等于AT到AB的角

　 或(舍，結(jié)合圖形)　

∴ ：

[例10] 中，A(，)兩條中線所在直線方程為，，求BC邊所在直線方程。

解：

G(，2)　 G分之比　 ∴ D(，5)

設(shè)B(，)　 ∴ C(，)

　　 　　∴ 兩點(diǎn)式：

[模擬試題]

1. 直線：，：的交點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍是(　 　)

A. 　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　 D.

2. 已知，則的最小值為(　　 )

　　 A. 68　　 B. 69　　 C. 70　　 D. 71

3. 過A(2，)與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為(　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

4. 已知A(3，5)B(2，15)在直線：上，找一點(diǎn)P使最小，則最小值為(　　 )

　　 A. 18　　 B. 　　C. 19　　 D.

5. 已知，的最小值為(　　 )

　　 A. 1 　　B. 2　　 C. 　　D.

6. 兩直線：，和：，當(dāng)(0，2)時，求直線與兩坐標(biāo)軸圍成四邊形面積的最小值。