高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)全國統(tǒng)一考試試題 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分．考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至2頁．第Ⅱ卷3至10頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷 參考公式： 如果事件互斥，那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 球的表面積公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 如果事件相互獨立，那么　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 其中表示參考答案

高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)全國統(tǒng)一考試試題

參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分50分．

(1)B　　　　　　　　　 (2)C　　　　　　　　　 (3)C　　　　　　　　　 (4)A　　　　　　　　　 (5)C

(6)D　　　　　　　　　 (7)D　　　　　　　　　 (8)B　　　　　　　　　 (9)A　　　　　　　　　 (10)A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分24分．

(11)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (13)

(14)　　　　　　　　　　　　　　 (15)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (16)

三、解答題

(17)本小題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識，考查基本運算能力．滿分12分．

(Ⅰ)解：在中，，由正弦定理，

．

所以．

(Ⅱ)解：因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是

，

，

．

．

(18)本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．滿分12分．

(Ⅰ)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為紅球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為紅球”為事件．由于事件相互獨立，且

，，

故取出的4個球均為紅球的概率是

．

(Ⅱ)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個紅球為黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為

．

(19)本小題考查直線與平面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識．考查空間想象能力、記憶能力和推理論證能力．滿分12分．

(Ⅰ)解：在四棱錐中，因底面，平面，故．

又，，從而平面．故在平面內(nèi)的射影為，從而為和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小為．

(Ⅱ)證明：在四棱錐中，

因底面，平面，故．

由條件，，面．

又面，．

由，，可得．

是的中點，，

．綜上得平面．

(Ⅲ)解：過點作，垂足為，連結(jié)．由(Ⅱ)知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，可得．設(shè)，可得

，，，．

在中，，，則

．

在中，．

所以二面角的大小．

(20)本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力．滿分12分．

(Ⅰ)證明：由題設(shè)，得

，．

又，所以數(shù)列是首項為，且公比為的等比數(shù)列．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，于是數(shù)列的通項公式為

．

所以數(shù)列的前項和．

(Ⅲ)證明：對任意的，

．

所以不等式，對任意皆成立．

(21)本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線方程，函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．滿分14分．

(Ⅰ)解：當(dāng)時，，得，且

，．

所以，曲線在點處的切線方程是，整理得

．

(Ⅱ)解：

．

令，解得或．

由于，以下分兩種情況討論．

(1)若，當(dāng)變化時，的正負如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且

；

函數(shù)在處取得極大值，且

．

(2)若，當(dāng)變化時，的正負如下表：

因此，函數(shù)在處取得極小值，且

；

函數(shù)在處取得極大值，且

．

(Ⅲ)證明：由，得，當(dāng)時，

，．

由(Ⅱ)知，在上是減函數(shù)，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為．

要使①式恒成立，必須，即或．

所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立．

(22)本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．滿分14分．

(Ⅰ)證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點，其中

，由于點在橢圓上，有，

，

解得，從而得到，

直線的方程為，整理得

．

由題設(shè)，原點到直線的距離為，即

，

將代入原式并化簡得，即．

證法二：同證法一，得到點的坐標(biāo)為，

過點作，垂足為，易知，故

由橢圓定義得，又，所以

，

解得，而，得，即．

(Ⅱ)解法一：圓上的任意點處的切線方程為．

當(dāng)時，圓上的任意點都在橢圓內(nèi)，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標(biāo)是方程組

的解．當(dāng)時，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

．

若，則

．

所以，．由，得．在區(qū)間內(nèi)此方程的解為．

當(dāng)時，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為．

另一方面，當(dāng)時，可推出，從而．

綜上所述，使得所述命題成立．