例1.如圖,在四棱錐中,,平面,
且,,求點到平面的距離.
解:取的方向分別為的正方向,建立空間直角坐標系,
則,,.,
設平面的法向量為,.所以可令,點到
平面的距離=.
例2.如圖,已知是正方形,平面,,
分別是的中點,求異面直線與之間的距離。
解:以為原點,建立空間直角坐標系,
,,,
,,是異面直線與的公共法向量,則即;即+=0.所以=,所以異面直線與之間的距離.
例3.如圖,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,.側棱,分別是與的中點,點在平面上的射影是的重心.
求與平面所成角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示);
求點到平面的距離.
(1)建立如圖坐標系,設,則,,,,
,,則=,
,,則=,,取平面法向量為,則與夾角為與平面所成角的余角.所以cos, 所以與平面所成角為.
(2)由(1)知,設平面的法向量為,,即,即,所以令法向量.所以點到平面的距離為.
例4.過正方形的頂點A,引,若,
則平面與平面所成的二面角的大?。?/p>
解:以為原點,分別為軸軸,軸建立空間直角坐標系如圖。
則, , , ,則,.設平面PCD的法向量為,,即;,即.所以可令;設平面PAB的法向量為,所以平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值為.所以平面與平面所成的二面角的平面角為.
既然可以利用兩個平面的法向量求兩平面的夾角,也可以利用兩個平面法向量證明兩平面垂直.如下面的例5.可以先求兩平面的法向量,再計算它們的數(shù)量積.
例5.如圖,正四棱柱中,底面邊長為,側棱長為4,分別為棱的中點.
求證:平面平面
解:以為原點,分別
為建立空間直角坐標系,則, ,
,,
設平面EF的法向量為,
則=0;即.所以令=
設平面的法向量為=,,即4=0; ,即.所以可令. =0
平面平面.