如右圖所示，a、b是兩異面直線，是　　　 a　　　 E　　

a和b 的法向量，點E∈a，F∈b，則　　　　　

異面直線 a與b之間的距離是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 b　 F

例1、如下圖，正四棱錐S-ABCD的高SO=2，底邊長，求異面直線BD和SC之間的距離.

分析：建立如圖所示的直角坐標系，則

，，

，，.，

.令向量，且，則，，，，.異面直線BD和SC之間的距離為：

.

例2、如下圖，正方體ABCD- A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M、N分別為AA₁，BB₁的中點，

求(1)CM與D₁N的余弦值；

(2)異面直線CM與D₁N的距離。(2004年廣州調研試題)

分析(2)：建立如圖所示右手直角坐標系，則C(0,2,0)、D₁(0，0，2)、M(2，0，1)、N(2，2，1)

，　　　　 D₁　　　　 C₁

設法向量　A₁ 　　　　　B₁

則　　　 2x-2y+z=0　　　　 x=0　　 M　 D　　　　 N　 C

2x+2y-z=0　　　 z=2y　　 A　　　　　　　 B

令y=1得，依公式得異面直線CM與D₁N的距離是

如右圖所示，已知AB是平面α的　　　　

一條斜線，為平面α的法向量，則　　　　　　　　 C　 B

A到平面α的距離為　　　　 α　

例3、已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。

分析：建立如圖所示右手直角坐標系，　　　　　　　　　　　　　 G

則E(4，-2，0)，F(2，-4，0)，　　　　　　　　 E　 D　 　　　　C

G(0，0，2)，B(4，0，0)，　　　　　　　　 A　　 F　　 B

=(0，-2，0)，=(-4，2，2)，=(-2，4，2)，設平面EFG的法向量=(x,y,z)，則由，得

　　　 -4x+2y+2z=0　　　　　 x= 　　

-2x+4y+2z=0　　　　 y=　

不妨設z=3，則=(1，-1，3),所以依公式可得所求距離為

首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉化成直線上一點到平面的距離問題。

例4、已知邊長為的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點，PA⊥面ABC，且PA=2，設平面α過PF且與AE平行，求AE與平面α間的距離。

分析：因為AE∥平面α，所以將AE與平面α的距離轉化成點A到平面α的距離，建立如圖右手直角坐標系，　

　則A(0，0，0)，P(0，0，2)，　　　　　

E(，0，0)，F(，，0)，　　　　　　　 P

,,　　　　　　　 A　　 F

,設法向量=(x,y,z)，　 B　 E　　　　 C

則由，得，

　 　　　　　　　　　x=0

　　　　　　 不妨設防z=1，則=(0，，1),所以依公式可得所求距離為

首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉化成點到平面的距離問題。

例5、　 棱長為的正方體中.求證：平面AB₁C∥平面；

(1)　 求平面與平面間的距離.

分析(2)：建立如圖所示的直角坐標系，

則A、D、A₁、C₁的坐標分別是

(1，0，0)、(0，0，0)、(1，0，1)、

(0，1，1)，∴，

，，將平面與平面間的距離轉化成點A到平面的距離。設平面的一個法向量，

則，即，

，平面與平面間的距離

如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量與，則平

面α與β所成的角跟法向量與　　　 α　

所成的角相等或互補，所以首先　　　　 　　β

必須判斷二面角是銳角還是鈍角?！　　　　　　?

例6、如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。

分析：依題意，先過C點CE⊥AD，計算得ED=2a，BC=AE=a,建立如圖右角直角坐標系，則P(0，0，a),D(0,3a,0)，　　　 P

C(a,a,0),,　　　　　　　 A　　　　 E　　　　 D

,,　　 B　　　　 C

取平面ACD的一個法向量，設平面PCD的法向量是、，所以得　　　　　　　　　　

　 　　　　　　　

　　 　　　　 所以不妨取得，從而計算得

易得二面角P-CD-A的平面角是銳角，所以其角的余弦是

如圖，要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者

例7、如下圖，已知正四面體ABCD的邊長為2，E為AD的中點，求EC與平面BCD所成的角。

分析：作AO⊥平面BCD，連結OD，并且　　　　　　　　　　　 A

過O作OF∥BC交CD于F，建立如圖所　　　　　　　　　　　　 E

示右手直角坐標系，則O(0，0，0)，　　　　 B　　　 O　　　　　 D

E(0，，), 　　　C　　　　 F

易取得平面BCD上的一個法向量，所以，觀察與的方向，易知EC與平面BCD所成的角是

如果有一向量垂直于平面α，則向量叫做平面α的法向量。要證兩個平面平行，只需證這兩個平面同時垂直于它們的法向量。

例8、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：平面A₁BD∥平面B₁D₁C

分析：作如圖所示右手直角坐標系，　　　　 D　　　　　　 C

則各點坐標是A₁(1，0，0)，　　　　　 A　　　　　 B

D₁(0，0，0)，B₁(1，1，0)，　　　　　　 D1　 　　　　　C1

B(1，1，1)，D(0，0，1)，　　　　 A1　　　　 B1

C(0，1，1) ，則=(0，1，1)，

　=(-1，-1，0)，設平面A₁BD有一法向量=(x,y,z)，則

　　　 y+z　　　　　　 -x +-y =0　　　　　　　　

　 x=z　　　　　　 y=-z　　　　　　　　　 

不妨取z=1，則=(1，-1，1) ，又由=(-1，-1，0)，　=(0，1，1)，易知=, =,所以與都與垂直，所以與平面B₁D₁C垂直，從而得到平面A₁BD∥平面B₁D₁C

要證兩平面相互垂直，只需找出這兩個平面的兩個法向量，證明這兩個法向量相互垂直。

例9、　 如右圖，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，

BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點?！　　　　?E

求證：(1)DE=DA；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 M　　　　　 D

(2)平面BDM⊥平面ECA；　　　　　　　　　 C　　　　　　　　 B

(3)平面DEA⊥平面ECA；　　　　　　　　　　　　　 A

分析(3)：建立如圖所示右手直角坐標系 ，不妨設CA=2，則CE=2，BD=1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，　，　，　， 分別假設面CEA與面DEA的法向量是、，所以得　　　　

　　 　　　　　

　　 　　　　　　　　　

　　 　　　　　

　 　　　　　　　　

不妨取、，從而計算得，所以兩個法向量相互垂直，兩個平就相互垂直。

　 事實證明，法向量在求角、距離以及證明平行垂直中都有非常廣泛的應用，它在中學數學中的出現，是對傳統(tǒng)的立體幾何知識一個很好的補充及加深。