08屆高中畢業(yè)班理科數(shù)學質(zhì)量檢查試題 數(shù)學　 (理科)　 試題 　　　 本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，共8頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘． 參考公式： 　　　 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)． 　　　 如果事件A、B相互獨立，那么P(A.B)=P(A).P(B)． 　　　 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=． 　　　 球的表面積公式　 S=4πR2，其中R表示球的半徑． 　　　 球的參考答案

數(shù)學(理科)試題參考答案及評分標準

說明：

　　 　一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則．

　　　 二、對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

　　　 三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．

　　　 四、只給整數(shù)分數(shù)．選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．

　　　 1．A　 2．C　 3．C　 4．B　 5．A　 6．D　 7．B　 8．D　 9．A　 10．D　 11．D　 12．A

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算。每小題4分。滿分16分．

　 13．15；14．；15．；16．

三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．本小題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、和角公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查理解能力和運算能力．滿分12分．

解：……………………………………………………(4分)

　　　　　　　　 ………………………………………(6分)

…………………………………………………(8分)

…………………………………………(10分)

即時，f(x)單調(diào)遞增.

　 ∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[，]……………………(12分)

18．本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想方

　 法；考查推理與運算能力．滿分12分．

解法一：(I) ，且a₁=1，顯然a_n≠0

　　　　　　　　　　 ，又c為常數(shù)，

　　　　　　　　　　 ∴數(shù)列是等差數(shù)列. ………………………………………………(4分)

　　　　　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，……………………………(5分)

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　 又∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，，解得c=0或c=2. (7分)

當c=0時，a_n+1=a_n，不合題意，舍去.

∴c=2. ……………………………………………………………………(8分)

　　　　　　　　 (Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴…………………………………………(9分)

…………(10分)

……………………………………………………(11分)

.…………………………………………………………(12分)

解法二：(Ⅰ) ，且a₁=1，顯然a_n≠0

，……………………………………………(2分)

，又c為常數(shù)，

∴數(shù)列是等差數(shù)列……………………………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.

19．本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力。邏輯思維能力和探索問題、解決問題的能力．滿分12分．

解法一：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x 軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知

得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、

C(0，2，0)、B₁(2，2，2)、D₁(0，0，2)、

E(1，0，2 )、F(0，2，1)．…………(2分)

　　　 　　　　(Ⅰ)易知平面ACD₁的一個法向量是

　　　　　　　　　　　 =(2，2，2). …………………(4分)

又∵=(-1,2，-1)，

由.= -2+4-2=0，

∴⊥，而EF平面ACD₁，

∴EF∥平面ACD₁……………………………………………………(6分)

(Ⅱ) ∵=(0,2，0)，cos<,>=

∴異面直線EF與AB所成的角為arccos……………………(8分).

(Ⅲ)設(shè)點P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP的一個法向量為=(x，y，z)，

　　　　　　　　　 則

　　　　　　　　　 ∵=(0，2，t), =(-2，2，0)，

　　　　　　　　　 ∴取.

易知平面ABC的一個法向量，

依題意知，<，>=30°或<，>=150°，

∴|cos<，>|=………………………(10分)

即，解得

∵，∴在棱BB₁上存在一點P，當BP的長為時，

二面角P-AC-B的大小為30°. ……………………………(12分)

解法二：(Ⅰ)同解法一知=(-1,2，-1) ，=(-2,0，2)，

= (-2,2，0)，∴-=，

∴、、共面.

又∵EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁. ……………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．

解法三：(Ⅰ)取AD₁的中點K，連結(jié)EK、KC，在△AA₁D₁

中，EK∥AA₁，且EK=AA₁，

∵FC=CC₁，CC₁∥AA₁，∴FC　　　 EK，

∴四邊形EKCF為平行四邊形，

∴EF∥CK．又∵CK平面ACD₁，

EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁. (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，

　　 　　　　　　　　∴∠DCK就是異面直線AB和EF所成的角(或補角)．

　　　 　　　　　　　連DK，∵CD⊥平面AD₁，DK平面AD₁，

　　 　　　　　　　　∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK=，∴tan∠DCK=，

∴異面直線AB和EF所成的角為arctan．…………………(8分)

　　　　　　　 (Ⅲ)假設(shè)存在點P，使得二面角P-AC-B的大小為30°．連結(jié)BD交AC于O　　　 點，連結(jié)OP，∵ABCD為正方形，∴BO⊥AC，而OB為OP在平面AC上的射影，由三垂線定理得OP⊥AC，

　　 　　　　　　　　∴∠BOP為二面角P-AC-B的平面角，∴∠BOP=30°，

　　　 　　　　　　　則tan30°=,　 ∴BP=

　　　　　　 ∵∴在棱BB₁上存在一點P，當BP的長為時，

二面角P-AC-B的大小為30°. ……………………………………(12分)

解法四：(Ⅰ)取D₁C₁的中點H，連結(jié)EH，FH，A₁C₁，

　　　 　　　　　　　∵E為A₁D₁的中點，∴EH∥A_lC_l，

　　　 　　　　　　　而A₁C₁∥AC，∴EH∥AC，

　　　 　　　　　　　又∵F為CC₁的中點，∴HF∥D₁C．

　　　 　　　　　　　∵EH與HF相交，D₁C與AC相交，

　　 　　　　　　　　∴平面EHF∥平面ACD₁，EF平面EHF，

　　　 　　　　　　　∴EF∥平面ACD₁．　 ………………(4分)

　　　 　　　　　　　(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．

20．本小題主要考查函數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識；考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．滿分12分．

解法一：(Ⅰ)依題意設(shè)v=kω²，……………………………………………………(2分)

　　　 　　　　　　　又當ω=3時，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)

　　　 　　　　　　　故vω²=6000ω²．………………………………………………………(4分)

　　 　　　　　(Ⅱ)設(shè)這顆鉆石的重量為a克拉，

　　　 　　　　　　　由(Ⅰ)可知，按重量比為l∶3切割后的價值為

　　 　　　　　　　　6000(a)²+6000(a)²．…………………………………………… (6分)

　　 　　　　　　　　價值損失為

　　　 　　　　　　　6000a²一[6000(a)²+6000(a)²]．…………………………………(7分)

　　　 　　　　　　　價值損失的百分率為

　　　　　　　　　　

　　 　　　　　　　　答：價值損失的百分率為37.5%．……………………………………(8分)

(Ⅲ)若把一顆鉆石按重量比為m∶n切割成兩顆，價值損失的百分率應為

　　，…………………………(10分)

又，…………………………………(11分)

　　　 　　　　　等號當且僅當m=n時成立.

　 　　　　　　 即重量比為1∶1時，價值損失的百分率達到最大………………(12分)

解法二：(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一．

　　 　　 (Ⅲ)設(shè)一顆鉆石切割成兩顆，其重量比為1∶x，

　　 　　　　　　　　　則價值損失的百分率為

　　　　　　　　　　　 ,………………………………(10分)

　　　　　　　　　　　 又x>0，∴x²+1≥2x，

　　　　　　故

等號當且僅當x=1時成立．……………………………………………(11分)

故當重量比為1∶1時，價值損失的百分率達到最大………………(12分)

21．本小題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查解析幾何的基本思想方法；考查分析問題、解決問題的能九滿分12分．

解法一：(Ⅰ)設(shè)D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD為菱形

　　　 　　　　　　　且AC、BD的交點在y軸上，

　　　 　　　∴B、C兩點坐標為(-x，0)、(-a，y)．

　　　 　　　　　　　由AC⊥BD得

.＝(2x，y).(2a，-y)

＝4ax - y²=0，

即　y² = 4ax. …………………………(4分)

注意到ABCD為菱形，∴x≠0

故軌跡E的方程為y² = 4ax(x≠0).

……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°．

…………………………………(6分)

　　　　　　 證明如下：

(1)當PQ⊥x軸時，P、Q點的坐標為(a，±2a)，又R(一a，0)，

　 　　　　　　　　　　此時∠PRQ=90°，結(jié)論成立；……………………………………(7分)

(2)當PQ與x軸不垂直時，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x一a)，

　 由得　k²x² - (2ak²+4a)x + k²a² = 0

　 　　　　　　記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁+x₂ ＝2a+，x₁ x₂=a².

　　　　　　　.＝(x₁+a)(x₂+a)+y₁y₂

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(x₁+a)(x₂+a)+k²(x₁- a)(x₂- a)

　　　　　　　　　　　　 =(1+k²) x₁ x₂+(a - ak²)( x₁+x₂)+a²+a²k²

　　　　　　　　　　　　 =(1+k²) a² +(a - ak²)( 2a+)+a²+a²k²=>0

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………………(10分)

　　 　　　　　　　　　　　即<,>為銳角，……………………………………………(11分)

　　　 　　　　　　　　　　綜上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．　 …………………………(12分)

解法二：(Ⅰ)設(shè)D(x，y)，由ABCD為菱形且AC、BD的交點在y軸上，

　　 　　　　　　　　　∴C點坐標為(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得

　　　　　　　　　　　 ，

　 　　　　　化簡得y²=4ax．………………………………………………………(4分)

　 　　　　　注意到ABCD為菱形，∴x≠O，

　 　　　　　故軌跡E的方程為y²=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

　　　 　　　　證明如下：

　　　　　　設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，同證法一易知，則x₁ x₂=a².又y₁²=4ax₁，y₂²=4ax₂，且｜PR｜²＝x₁+x₂+2a ，因為

　　　　　?。?i>PR｜²+｜QR｜²-｜PQ｜²＝(x₁+a)²+y₁²+(x₂+a)²+y₂²-( x₁+x₂+2a)²

　　　　　　　　　　　　 =2ax₁+2ax₂-4a²≥2 -4a²=4a-4a²=0……………(9分)

　　　　　　從而　cos∠PRQ=≥0，……………………(11分)

即∠PRQ≤90°…………………………………………………………(12分)

解法三：(Ⅰ)因為ABCD為菱形，且AC與BD的交點在y軸上，

　　　 　　　　　　　　所以點C的橫坐標為 -a，

　　 　　　　　　　　　即點C在直線x = -a上，從而D到C的距離等于D到直線x = -a的距　　　 離．又ABCD為菱形，所以點D到點A的距離與點D到直線x = -a的距離　　　 相等，即軌跡E為拋物線，方程為y²=4ax．…………………………(4分)

　　　 　　　　　　　　注意到ABCD為菱形，∴x≠O，

　　 　　　　　　　　　故軌跡E的方程為y²=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)

(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

　　　 證明如下：

如圖，過P、Q向x軸及準線x = -a引垂線，記垂足為M、N、C、H，

　　　 　　　　　　　　則|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，…………………(10分)

　　　 　　　　　　　　同理可證∠QRN≤45°，從而∠PRQ≤90°.…………………………(12分)

　 　　解法四：(Ⅰ)同解法一．

　　 　　　　　　　　　(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°.………………………(6分)

　　　 　　　　　　　　證明如下：

設(shè)P(x₁，y₁)，則y₁²=4ax₁，tan∠PRM=|k_PR|=||=，…(8分)

∵x₁+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，…………………(10分)

同理可證∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°.……………………………(12分)

22．本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)、單調(diào)性、極值和不等式等基礎(chǔ)知識；考查化歸及數(shù)形結(jié)合的思想方法；考查分析問題、解決問題的能九滿分14分．

解：(Ⅰ) 　= 　………………………………………………………(2分)

∵x=0時，f(x)取得極值，∴=0，……………………………………(3分)

故　=0，解得a=1.經(jīng)檢驗a=1符合題意. …………………(4分) (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x² - x，由f(x)= +b,

得ln(x+1)-x²+ x-b=0，

令φ(x)= ln(x+1)-x²+ x-b，

則f(x)= +b在[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于φ(x)=0在[0，2]

恰有兩個不同實數(shù)根．………………………………………………………(5分)

　　　　　　 ，………………………………(8分)

當x∈(O，1)時，　>O，于是φ(x)在(O，1)上單調(diào)遞增；

當x∈(1，2)時，　<0，于是φ(x)在(1，2)上單調(diào)遞減．…………(8分)

　　　　　　 依題意有

　　　　　　　 ∴l(xiāng)n3 -1≤b<ln2 +.…………………………………………………………(9分)

(Ⅲ) f(x)=ln(x+1)-x² –x的定義域為{x|x> -1}，………………………………(10分)

　　　 由(Ⅰ)知，……………………………………………(11分)

　　　 令=0得，x=0或x= -(舍去)，

　　　 ∴當-1<x<0時，>0，f(x)單調(diào)遞增；

　　　　　 當x>0時，<0，f(x)單調(diào)遞減.

∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值. …………………………………(12分)

∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x²-x≤0(當且僅當x=0時，等號成立).…(13分)

對任意正整數(shù)n，取x=>0得，ln(+1)< +，故ln()<.

………………………………………………………………(14分)