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過O的動(dòng)平面與P-ABC的三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別記
為Q、R、S,則 ( )
A.有最大值而無(wú)最小值
B.有最小值而無(wú)最大值
C.既有最大值又有最小值,且最大值與最小值不等
D.是一個(gè)與平面QRS位置無(wú)關(guān)的常量
2.在正n棱錐中,相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
立體幾何練習(xí)參考答案
一、選擇題
1.D 設(shè)正三棱錐P-ABC中,各棱之間的夾角為α,棱與底面夾角為β,h為點(diǎn)S到平面PQR的距離,則VS-PQR=S△PQR.h=(PQ.PR.sinα).PS.sinβ,另一方面,記O到各平面的距離為d,則有VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=S△PQR.d+S△PRS.d+S△PQS.d=..PQ.PR.sinα+.PS.PR.sinα+..PQ.PS.sinα.故有PQ.PR.PS.sinβ=d(PQ.PR+PR.PS+PQ.PS),即==常量.
2.B 設(shè)正n棱錐的高為h,相鄰兩側(cè)面所成二面角為θ.當(dāng)h→0時(shí),正n棱錐的極限為正n邊形,這時(shí)相鄰兩側(cè)面所成二面角為平面角,即二面角θ→π.
當(dāng)h→∞時(shí),正n棱錐的極限為正n棱柱,這時(shí)相鄰兩側(cè)面所成二面角為正n邊形的內(nèi)角,即θ→π.故選B.
3.B 如圖,易知四邊形EFGH為矩形,當(dāng)P→底面△ABC的中心O時(shí),矩形EFGH→矩形E1F1GH.
=E1F1.F1G=a.a=a2.
即S矩形EFGH→a2.當(dāng)P→∞時(shí),S矩形EFGH→∞.
∴S矩形EFGH∈.故選B.
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4.C 如圖,∵a⊥AE,a⊥AF,∴a⊥平面AEF.
設(shè)a交平面AEF于點(diǎn)G,則∠EGF是二面角α-a-β的平面角,∠EGF=60°,∠EAF=120°,且易知當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí),B∈EG,C∈FG.
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于平面α的對(duì)稱點(diǎn)為A′,點(diǎn)A關(guān)于平面β的對(duì)稱點(diǎn)為A″,連結(jié)A′A″,分別交線段EG
、FG于點(diǎn)B、C,則此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最短,記為l.由中位線定理及余弦定理得
l=2EF=2=4.
5.D 因?yàn)?i>ABCD是正四面體,故AC⊥BD,作EG∥AC交BC于G,連結(jié)GF,則αλ=∠GEF,且,
∴GF∥BD,故GF⊥EG,且βλ=∠EFG,∴f (λ)=αλ+βλ=90°為常數(shù).
6.C 這兩條直線在距a為的平面上,分布在a在該平面上的射影的兩側(cè).
7.A 設(shè)正四棱錐各棱長(zhǎng)均為1,則Q=1,S=,此時(shí),正四棱錐的高h=,
∴V=Qh=,將Q=1,S=代入選擇支,知A正確.
8.B 考慮A、B兩點(diǎn)在球面上無(wú)限靠近但又不重合,及A、B兩點(diǎn)應(yīng)為直徑的兩端點(diǎn)時(shí)的情況.
點(diǎn)評(píng) 若忽視幾何里的兩點(diǎn)、兩直線、兩平面等均應(yīng)是相異的兩元素,就會(huì)誤選A,球的最長(zhǎng)弦就是直徑,但球沒有最短弦.
9.C 若m∥l,則β內(nèi)必有與m平行的直線;若m與l相交,則β內(nèi)無(wú)直線與m平行.
∴不一定存在直線與直線m平行,排除A、B.又β內(nèi)一定存在與m在β內(nèi)的射影垂直的直線,由三垂線定理知,β內(nèi)一定存在直線與m垂直,故選C.
10.B 本題考查簡(jiǎn)單多面體的表面展開與翻折,著重考查考生的空間想像能力,該多面體是正方體切割掉一個(gè)頂點(diǎn),故有7個(gè)頂點(diǎn).
二、填空題
11.;a 本題通過等積找規(guī)律.
12. 分析 P點(diǎn)到A、B、C距離相等,故P點(diǎn)在平面ABC上的射影是三角形ABC的外心,故可由△ABC的已知條件求出△ABC外接圓半徑,進(jìn)而求得P點(diǎn)到平面ABC的距離,及外心到直線BC的距離,從而最終解決問題.
解 記P點(diǎn)在平面ABC上的射影為O,則AO、BO、CO分別是PA、PB、PC在平面ABC上的射影
∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,
∴O為△ABC的外心.
在△ABC中,BC==21
由正弦定理,2R=,∴R=7
P點(diǎn)到平面ABC的距離為.
O點(diǎn)到直線BC的距離OD= (D為BC邊的中點(diǎn))
∵OP⊥平面ABC,OD⊥BC,∴PD⊥BC.
∴P到BC的距離PD=.
13.3 如圖所示,作CE⊥AD,連結(jié)EF,易證EF⊥AD,
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CD的中點(diǎn),同理∠AGB為面ACD和面BCD所成二面角的
平面角,由已知∠CEF=∠AGB.
設(shè)底面△CDF的邊長(zhǎng)為2a,側(cè)棱AD長(zhǎng)為b.在△ACD中,
CE.b=AG.2a,所以CE=
在△ABC中,易求得AB=2,
由△CEF∽△AGB得,即
解得b=a,因此b=2時(shí),2a=3,∴最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間距離為3.
14.36 正四面體ABCD的底部是正△BCD,假設(shè)離BC邊最近的球有n個(gè),則與底面△BCD相切的球也有n排,各排球的個(gè)數(shù)分別為n、n-1、…、3、2、1,這樣與底面相切的球共有1+2+…+n=個(gè).由于正四面體各面都是正三角形.因此,正四面體內(nèi)必有n層球,自上而下稱為:第1層、第2
層、…第n層,那么第n-1層,第n-2層,…第2層,第1層球的個(gè)數(shù)分別是:
1+2+…+n=、1+2+…+n-1=,
1+2=,1=
∴
即n(n+1)(n+2)=120.
即(n-8)(n2+11n+90)=0,∴n=8,因此正四面體內(nèi)共有8層小球,其底部所放球數(shù)為=36(個(gè)).
三、解答題
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解 如圖,連結(jié)MC、MD,則
∵AM⊥平面MDC,BM⊥平面MDC
∴VA-BCD=VA-MDC-VB-MDC=S△MDC.(AM-BM)
=S△MDC.AB
設(shè)M到CD的距離為x,則S△MDC=CD.x=cx,
∴VA-BCD=×cx.b=bcx
∵x≤MN=a,∴當(dāng)x=a時(shí),
即MN為l1與l2的公垂線時(shí),VA-BCD最大,它的最大值為abc.
點(diǎn)評(píng) x≤MN,包含x=MN,也包含x<MN,垂線段小于斜線段.
16.解 建立空間直角坐標(biāo)系,使得D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),E(a,0,a),F(0,a,a),
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P(,0,),Q(,,0),
(1) 所以=(-,0,),(,-,-a),.=(-)×+0+×(-a)=-a2,
且||=a,||=a,所以cos,=.
故得兩向量所成的角為150°;
(2) 設(shè)n=(x,y,z)是平面EFB的單位法向量,即|n|=1,n⊥平面EFB,所以n⊥,且n⊥,
又=(-a,a,0),=(0,-a,a),即有得其中的一個(gè)解是
∴n=,=,
設(shè)所求距離為d,則d=|.n|=;
(3) 設(shè)e=(x1,y1,z1)是兩異面直線的公垂線上的單位方向向量,
則由=,=,
得求得其中的一個(gè)e=,
而=(0,a,0),設(shè)所求距離為m,則m=|].e|=|-a|=a.
17.解 (1)根據(jù)已知,可得四邊形ABCE為平行四邊形,所以O為BE中點(diǎn).
.
(2)
∵()2=(--)2=,
∴||=.
∴cos<,>=,
所以OD1與AE所成角為arccos.
(3)設(shè)AE的中點(diǎn)為M,則=-.
∵.=.-.=1×2×cos60°-××2cos45°=0,
∴⊥.
.=.-=cos 45°-×()2=0,∴⊥.
所以MD1垂直于平面ABCE內(nèi)兩條相交直線,∴MD1⊥平面ABCE.
而D1M平面AD1E,所以平面AD1E⊥平面ABCE.
18.(1)解法一 連結(jié)BC1、CO,∵B1O⊥平面ABC,CO⊥AB,∴B1C⊥AB,
又∵在菱形BB1C1C中,B1C⊥BC1,
∴B1C⊥平面ABC1,∴B1C⊥C1A.
(2)作C1Q⊥平面ABC于Q點(diǎn),連接AQ,
∴∠C1CQ是側(cè)棱與底面所成的角,即∠C1CQ=60°,
在△C1CQ中,CQ=CC1=AO,C1Q=CC1,
由BC,B1C1,OQ平行且相等,又∵CO⊥AB,∴QA⊥AB,∴C1A⊥AB,
∴∠QAC1是二面角C1-AB-C的平面角,
在△AQC1中,C1Q=AQ,∴∠QAC1=45°
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解法二 (1)以O為原點(diǎn),OC所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
∵B1O⊥平面ABC,
∴∠B1BO是側(cè)棱與底面所成角,∴∠B1BO=60°.
設(shè)棱長(zhǎng)為2a,則OB1=a,BO=a,又CO為正三角形的中線,∴CO=a.
則A(0,a,0),B(0,-a,0),C(a,0,0),B1(0,0,a),C1(a,a,a).
=(a,0,-a),=(-a,0,-a).
∵.=-3a2+0+3a2=0,∴B1C⊥C1A.
(2)在△C1AB中,||=a,||=|(a,2a,a)|=a,||=2a,
∴S△C1AB=a2,
作C1Q⊥平面ABC于Q點(diǎn),則Q(a,a,0).
∴S△ABQ=a2,設(shè)二面角C1-AB-C的平面角為θ,
則cosθ=.
二面角C1-AB-C的平面角為45°.
19.(1)解法一 由條件知△ABC為直角三角形,∠BAC=90°,
∵PA=PB=PC,∴點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心,即斜邊BC的中點(diǎn)E,取AC中點(diǎn)D,連結(jié)PD、DE、PE,PE⊥平面ABC.
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DE⊥AC(∵DE∥AB).∴AC⊥PD,∠PDE為二面角P-AC-B的平面角.
tanPDE=,
∴∠PDE=60°,故二面角P-AC-B的平面角為60°.
解法二 設(shè)O為BC的中點(diǎn),則可證明PO⊥面ABC,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
則A,B(-a,0,0),C(a,0,0),P,
AC中點(diǎn)D,
=,=
∵AB⊥AC,PA=PC,PD⊥AC,
cos<,>即為二面角P-AC-B的余弦值.
而cos<,>=
二面角P-AC-B的平面角為60°
(2)解法一 PD=,
S△APC=.AC.PD=
設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h,
則由VP-ABC=VB-APC得.S△ABC.PE=.S△APC.h,
h=.
故點(diǎn)B到平面PAC的距離為.
解法二 點(diǎn)E到平面PAC的距離容易求得,為a,而點(diǎn)B到平面PAC的距離是其2倍,
∴點(diǎn)B到平面PAC的距離為.
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