題目所在試卷參考答案：

直線與圓練習(xí)參考答案

1.C　 方法1　 設(shè)直線l為y=kx+b，分別與y=1，x-y-7=0聯(lián)立解得P (-,1)，Q (，).由PQ中點(diǎn)為(1，-1)，∴，且1+＝-2，∴k=-，故選C.

方法2　 設(shè)P (a,1)，Q (b+7,b)，因PQ的中點(diǎn)為(1，-1)，

∴，解得，故P為(-2,1),Q為(4，-3)，

∴,故選C.

2.C　 如圖，＝=2.

要求的最小值，只需求|PO|的最小值即可.

第2題圖解

，∴，故選C.

3.C　 如圖，設(shè)直線y=ax的傾斜角為α,

則α≠,∴|α-|<,

∴<α<,且α≠.a=tanα∈(,1)∪(1,).

4.A　 應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式,選A.

		第5題圖解
	第3題圖解

　

5.B　 如圖，設(shè)圍成四邊形為OABC，因OABC有外接圓，且∠AOC＝90°，故∠ABC＝90°.

∴兩條直線x+3y-7=0,kx-y-2=0互相垂直，(-).k=-1，即k=3，故選B.

說明　 運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)是解決圓的問題的有效途徑.

6.D　 如圖，設(shè)l:4x-3y+25=0，與l平行且距離等于1的直線為4x-3y+b=0.

∴或b=30.

:4x-3y+20=0，:4x-3y+30=0.

第6題圖解

圓心(0，0)到和的距離分別為=4，=6.

故滿足條件的r取值范圍(4，6).

實際上，圓沒有點(diǎn)到直線4x-3y+25=0的距離等于1，

則0<r<4，若圓上只有一點(diǎn)到直線4x-3y+25=0的距離等于1，

則r=4，類似可求出圓上有三點(diǎn)、四點(diǎn)到直線的距離等于1

的r的取值范圍.

7.A　 由,可得⊥,∴選A.

第8題圖解

8.A　 方法1　 設(shè)切點(diǎn)為A、B，則AB⊥OP，

∵，∴.故排除B、C.

又由圖可知，AB在y軸的截距為負(fù)，故排除D，所以選A.

方法2　 設(shè)A(，)，B(，)，

由AP⊥OA可得.=-1，

即.∴，又,

∴.

同理可得，∴AB直線為-4x+y+4=0，即4x-y-4=0.

方法3　 設(shè)A(，)，B(，)，則切線PA為，.

∴,，∴A、B在直線4x-y-4=0上.

另:此題可推廣到一般結(jié)論，若P (,)為圓　(r>0)外一點(diǎn)，過P引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為.

9.A　 直線方程為，則圓心(a,b)到直線x-y=0的距離為d=，又因截得弦長恰好等于圓的半徑，故d=r,∴|a-b|=r，故選A.

10.B　 方法1　 將y=kx+1代入中有.

設(shè)交點(diǎn)為 A(，)，B(，)，∵A、B關(guān)于y軸對稱，∴，

∴k=0.故選B.

方法2　 因直線與圓的兩個交點(diǎn)A(，)，B(，)關(guān)于y軸對稱

∴,,故圓心在y軸上，∴k=0，故選B.

11.x-y-1=0　 P、Q關(guān)于直線l對稱，故=-1且PQ中點(diǎn)在l上，

∴，又PQ中點(diǎn)為(,)，

∴l的方程為y-＝x-，即x-y-1=0.此題也可將a,b賦特殊值去求直線l.

12.2x+y-3=0　 由圓的幾何意義知該直徑與直線x-2y-3=0垂直.故該直徑方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.

13.{k|k>1或k=0或k<-1}　 畫出函數(shù)y=kx+1、y=的圖象，兩曲線相切及只有一個交點(diǎn)時如圖所示.

	第13題圖解

　

14.　 設(shè)圓的方程為經(jīng)過P(-2,4)，

∴，

∴λ=-2，∴所求的圓的方程為.

15.解　 由、相交，需1.a-1.1≠0,得a≠1，此時解方程組,

可解得　即、的交點(diǎn)為(-1-a,1),由、相交,

需1.1-1.a≠0,∴a≠1,由,相交，需1.1-a.a≠0,∴a≠±1,又(-1-a,1),

∴a.(-1-a)+1+1≠0,得a≠1且a≠-2,

綜上所述，a∈R且a≠±1且a≠-2,能保證三交點(diǎn)(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+)互不重合，所以所求a的范圍為a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).

16.解　 由已知條件知P為直線3x-y-4=0和直線x+2y+1=0的交點(diǎn),聯(lián)立兩直線方程得

，∴.∴P點(diǎn)為(1，-1).

又l與垂直，故l的方程為y+1=2(x-1)，即l的方程為2x-y-3=0.

17.解　 設(shè)P(x,y),則Q(18-x,-y),記P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi,

則S點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為:(x+yi).i=-y+xi,即S(-y,x),

∴|SQ|=

　　　　　　　　 =

其中可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9,-9)的距離，其最大值為|MB|+r=2+1，最小值為|MB|-r=2-1,則|SQ|的最大值為2+,|SQ|的最小值為2-.

18.解　 方法1　 如圖，設(shè)P(,)(>0)，Q(x,y).

第18題圖解

∵OQ為∠AOP的平分線，∴，

∴Q分PA的比為.

∴即.

又因，且>0，∴.

∴Q的軌跡方程為(y>0).

方法2　 設(shè)∠AOP=α，α∈(0，π)，則P(cosα，sinα)，∠AOQ=，

則OQ直線方程為y=x.tan=kx　　　　　　　 ①

，∴直線PA方程為y=(x-3)　　　　 ②

由Q滿足①②且k=tan.

由②得y=.

消去k有y=，∴,由圖知y>0.

故所求Q點(diǎn)軌跡方程為(y>0).

說明　 上述兩種方程為求軌跡的基本方法、相關(guān)點(diǎn)及參數(shù)法.

第19題圖解

19.解　 (1)如圖，設(shè)⊙P的圓心P(x,y)，半徑為R，

由題設(shè)，有|PA|=R+,|PB|=R+,∴|PA|-|PB|=2.

∴⊙P的圓心軌跡是實軸長為2，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距長

為4的雙曲線的右支，其方程為(x>0).

(2)由方程組，有(x>0).　　 ①

因為直線與雙曲線有兩個不同交點(diǎn)，

∴.從而，有.　 ∴-2<k<-.

(3)設(shè)的中點(diǎn)為M(、)，則=.

又M在y=kx+1上，∴=k+1=.

∴M(,).

∴的垂直平分線l的方程為:y-=-(x-),即y-=-(x-).

令x=0,得截距b=,k∈(-2,-),又-2<k<-,∴-1<3-<0.∴b<-4.

20.解　 假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線l方程為y=x+b.

方法1　 將y=x+b代入圓的方程有.

由題設(shè)知OA⊥OB,設(shè)A(，)，B(，)，

∴+＝0.

又＝(+b)(+b)=+b(+)+,∴2+b(+)+＝0.

又∵+=-(b+1)，＝2b-2+,

∴2(+2b-2)-b(b+1)+ =0.

∴b=1或b=-4.此時Δ＝，

∴存在這樣的直線l:y=x+1或y=x-4滿足題設(shè).

方法2　 設(shè)過圓C與l的交點(diǎn)的圓系D為

即.

圓心為(-,-)，在直線y=x+b上，

∴-=-+b，即λ=3+b.　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又圓D過原點(diǎn)，∴bλ-4=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得，，即b=1或b=-4.

此時圓D的方程存在.故存在直線y=x+1或y=x-4.