例1.(上海春) 設函數.(1)在區(qū)間[-2,6]上畫出函數的圖像；
(2)設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明；
(3)當時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數f(x)圖像的上方.
解：(1)(要求列表描點) (2)方程的解分別是和，由于在和[2,5]上單調遞減，在[-1,2]和上單調遞增，因此 .
由于.
(3)[解法一] 當時，.
，
. 又，
① 當，即時，取，
. ， 則.
② 當，即時，取， ＝.
由
①、②可知，當時，，.
因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方.
[解法二] 當時，.由
得， 令 ，
解得 或，
在區(qū)間[-1,5]上，當時，的圖像與函數f(x)的圖像只交于一點；
當時，的圖像與函數f(x)的圖像沒有交點. 如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數f(x)圖像的上方.
例2.(全國卷Ⅱ理17設函數，求使的取值范圍．
解：由于是增函數，等價于①
⑴當時，，∴①式恒成立。
⑵當時，，①式化為，即。
⑶當時，，①式無解。 綜上，的取值范圍為
例3．已知函數(a，b為常數)且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4.
(1)求函數f(x)的解析式； (2)設k>1，解關于x的不等式；
[正確解答](1)將
得
(2)不等式即為
即
①當
②當
③.
例4.(全國II卷)設，函數若的解集為A，，求實數的取值范圍。
解：由f(x)為二次函數知，令f(x)＝0解得其兩根為
由此可知
(i)當時，的充要條件是，即解得
(ii)當時，的充要條件是，即解得
綜上，使成立的a的取值范圍為
例5.(上海文22)(本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分，計18分)對定義域是、的函數y=f(x)、y=g(x)，規(guī)定：函數。
(1)若函數，，寫出函數的解析式；(2)求問題(1)中函數的值域； (3)若，其中是常數，且，請設計一個定義域為R的函數，及一個的值，使得，并予以證明。
解(3)[解法一]令則
于是
[解法二]令，
則
于是
例6．設的值域為[－1，4]，求a、b的值.
例7：已知函數f(x)=,x∈［1,+∞，(1)當a=0.5時，求函數f(x)的最小值
(2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍
(1)解
當a=時，f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數，∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=
(2)解法一
在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
設y=x2+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，
∴當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3
解法二
f(x)=x++2,x∈［1,+∞
當a≥0時，函數f(x)的值恒為正； 當a<0時，函數f(x)遞增，故當x=1時，f(x)min=3+a,
當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3
點評 本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力
解題的關健是把求a的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題.通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思想與分類討論的思想
