例1.(上海春) 設(shè)函數(shù).(1)在區(qū)間[-2,6]上畫出函數(shù)的圖像;
(2)設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系,并給出證明;
(3)當(dāng)時,求證:在區(qū)間上,的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.
解:(1)(要求列表描點(diǎn)) (2)方程的解分別是和,由于在和[2,5]上單調(diào)遞減,在[-1,2]和上單調(diào)遞增,因此 .
由于.
(3)[解法一] 當(dāng)時,.
,
. 又,
① 當(dāng),即時,取,
. , 則.
② 當(dāng),即時,取, =.
由
①、②可知,當(dāng)時,,.
因此,在區(qū)間上,的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
[解法二] 當(dāng)時,.由
得, 令 ,
解得 或,
在區(qū)間[-1,5]上,當(dāng)時,的圖像與函數(shù)f(x)的圖像只交于一點(diǎn);
當(dāng)時,的圖像與函數(shù)f(x)的圖像沒有交點(diǎn). 如圖可知,由于直線過點(diǎn),當(dāng)時,直線是由直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此,在區(qū)間上,的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.
例2.(全國卷Ⅱ理17設(shè)函數(shù),求使的取值范圍.
解:由于是增函數(shù),等價于①
⑴當(dāng)時,,∴①式恒成立。
⑵當(dāng)時,,①式化為,即。
⑶當(dāng)時,,①式無解?! ?綜上,的取值范圍為
例3.已知函數(shù)(a,b為常數(shù))且方程f(x)-x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式;
[正確解答](1)將
得
(2)不等式即為
即
①當(dāng)
②當(dāng)
③.
例4.(全國II卷)設(shè),函數(shù)若的解集為A,,求實數(shù)的取值范圍。
解:由f(x)為二次函數(shù)知,令f(x)=0解得其兩根為
由此可知
(i)當(dāng)時,的充要條件是,即解得
(ii)當(dāng)時,的充要條件是,即解得
綜上,使成立的a的取值范圍為
例5.(上海文22)(本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分,計18分)對定義域是、的函數(shù)y=f(x)、y=g(x),規(guī)定:函數(shù)。
(1)若函數(shù),,寫出函數(shù)的解析式;(2)求問題(1)中函數(shù)的值域; (3)若,其中是常數(shù),且,請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù),及一個的值,使得,并予以證明。
解(3)[解法一]令則
于是
[解法二]令,
則
于是
例6.設(shè)的值域為[-1,4],求a、b的值.
例7:已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞,(1)當(dāng)a=0.5時,求函數(shù)f(x)的最小值
(2)若對任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍
(1)解
當(dāng)a=時,f(x)=x++2
∵f(x)在區(qū)間[1,+∞上為增函數(shù),∴f(x)在區(qū)間[1,+∞上的最小值為f(1)=
(2)解法一
在區(qū)間[1,+∞上,f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞,∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增,
∴當(dāng)x=1時,ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3
解法二
f(x)=x++2,x∈[1,+∞
當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)的值恒為正; 當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)遞增,故當(dāng)x=1時,f(x)min=3+a,
當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3
點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題,著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力
解題的關(guān)健是把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想