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18.(本小題滿分12分)
如圖2,分別是矩形的邊的中點(diǎn),是上的一點(diǎn),將,分別沿翻折成,,并連結(jié),使得平面平面,,且.連結(jié),如圖3.
圖2 圖3
(I)證明:平面平面;
(II)當(dāng),,時(shí),求直線和平面所成的角.
數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在橫線上.
11.
12.
13.
14.(1)(2)
15.,32
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.解:(I)由題設(shè)知.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image028.gif">是函數(shù)圖象的一條對稱軸,所以,
即().
所以.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.
(II)
.
當(dāng),即()時(shí),
函數(shù)是增函數(shù),
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
17.解:任選1名下崗人員,記“該人參加過財(cái)會培訓(xùn)”為事件,“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件,由題設(shè)知,事件與相互獨(dú)立,且,.
(I)解法一:任選1名下崗人員,該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是
所以該人參加過培訓(xùn)的概率是.
解法二:任選1名下崗人員,該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是
該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是.
所以該人參加過培訓(xùn)的概率是.
(II)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的,所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布,,,即的分布列是
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0.001 |
0.027 |
0.
243 |
0.729 |
的期望是.
(或的期望是)
18.解:解法一:(I)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image100.gif">平面,平面平面,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.
(II)過點(diǎn)作于點(diǎn),連結(jié).
由(I)的結(jié)論可知,平面,
所以是和平面所成的角.
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image100.gif">平面,平面平面,,
平面,所以平面,故.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image102.gif">,,所以可在上取一點(diǎn),使,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image212.gif">,所以四邊形是矩形.
由題設(shè),,,則.所以,,
,.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image197.gif">平面,,所以平面,從而.
故,.
又,由得.
故.
即直線與平面所成的角是.
解法二:(I)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image100.gif">平面,平面平面,,
平面,所以平面,從而.又,所以平面.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image196.gif">平面,所以平面平面.
(II)由(I)可知,平面.故可以為原點(diǎn),分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
由題設(shè),,,則,
,,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,
,,.
所以,.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
由得故可取.
過點(diǎn)作平面于點(diǎn),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image249.gif">,所以,于是點(diǎn)在軸上.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image101.gif">,所以,.
設(shè)(),由,解得,
所以.
設(shè)和平面所成的角是,則
.
故直線與平面所成的角是.
19.解:(I)如圖,,,,
由三垂線定理逆定理知,,所以是
山坡與所成二面角的平面角,則,
.
設(shè),.則
.
記總造價(jià)為萬元,
據(jù)題設(shè)有
當(dāng),即時(shí),總造價(jià)最?。?/p>
(II)設(shè),,總造價(jià)為萬元,根據(jù)題設(shè)有
.
則,由,得.
當(dāng)時(shí),,在內(nèi)是減函數(shù);
當(dāng)時(shí),,在內(nèi)是增函數(shù).
故當(dāng),即(km)時(shí)總造價(jià)最小,且最小總造價(jià)為萬元.
(III)解法一:不存在這樣的點(diǎn),.
事實(shí)上,在上任取不同的兩點(diǎn),.為使總造價(jià)最小,顯然不能位于 與之間.故可設(shè)位于與之間,且=,,,總造價(jià)為萬元,則.類似于(I)、(II)討論知,,,當(dāng)且僅當(dāng),同時(shí)成立時(shí),上述兩個(gè)不等式等號同時(shí)成立,此時(shí),,取得最小值,點(diǎn)分別與點(diǎn)重合,所以不存在這樣的點(diǎn) ,使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià).
解法二:同解法一得
.
當(dāng)且僅當(dāng)且,即同時(shí)成立時(shí),取得最小值,以上同解法一.
20.解:由條件知,,設(shè),.
解法一:(I)設(shè),則則,,
,由得
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image137.gif">兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡得.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,,
于是
.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image331.gif">是與無關(guān)的常數(shù),所以,即,此時(shí)=.
當(dāng)與軸垂直時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為,,
此時(shí).
故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).
解法二:(I)同解法一的(I)有
當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以.
.
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.
故點(diǎn)的軌跡方程是.
(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn),使為常數(shù),
當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I)有,.
以上同解法一的(II).
21.解:(I)當(dāng)時(shí),由已知得.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image360.gif">,所以. …… ①
于是. ……②
由②-①得. …… ③
于是. …… ④
由④-③得, …… ⑤
所以,即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有,所以.由③有,,所以,.
而 ⑤表明:數(shù)列和分別是以,為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列,
所以,,,
數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立.
且
.
即所求的取值集合是.
(III)解法一:弦的斜率為
任取,設(shè)函數(shù),則
記,則,
當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,在上為減函數(shù),
所以時(shí),,從而,所以在和上都是增函數(shù).
由(II)知,時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,
取,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image404.gif">,所以.
取,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383841_1/image404.gif">,所以.
所以,即弦的斜率隨單調(diào)遞增.
解法二:設(shè)函數(shù),同解法一得,在和上都是增函數(shù),
所以,.
故,即弦的斜率隨單調(diào)遞增.