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11.若方程(為常數(shù),),則下列判斷正確的是( ).
A.當(dāng)時,沒有實根 B.當(dāng)時,有一個實根
C.當(dāng)時,有三個實根 D.當(dāng)時,有兩個實根
高考數(shù)學(xué)模擬示范卷(三)
參考答案
江西金太陽教育研究所數(shù)學(xué)研究室 編
一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.)
題號 |
1 |
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5 |
6 |
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10 |
11 |
12 |
答案 |
D |
C |
B |
D |
A |
B |
B |
A |
C |
A |
D |
B |
二.填空題(本大題4個小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)
13. 14. 15. 16.②
三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)的反函數(shù)為,.
(Ⅰ)若,求的取值集合;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),當(dāng)時,求函數(shù)的值域.
解:(Ⅰ),.又,∴.
∴,故集合.
(Ⅱ)由(Ⅰ),.設(shè),則為增函數(shù).
∵,∴,即.故函數(shù)的值域為.
18.(本小題滿分12分)(Ⅰ)在中,若,求角的大小.
(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的角,函數(shù)的圖象按向量平移后,對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),
求取最小值時的向量.
解:(Ⅰ)∵,∴.∵為三角形的內(nèi)角,∴.
(Ⅱ).設(shè),則按向量平移后得,.
當(dāng)此函數(shù)為偶函數(shù)時,有,∴.又最小,
∴,故.
19.(本小題滿分12分)某人居住在城鎮(zhèn)的處,準(zhǔn)備開車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事
件都是相互獨立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如
算作兩個路段:路段發(fā)生堵車事件
的概率為,路段發(fā)生堵車事件的概率為).
(Ⅰ)請你為其選擇一條由到的最短路線(即此人只
選擇從西向東和從南向北的路線),使得途中發(fā)生
堵車事件的概率最??;
(Ⅱ)若記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機變量,求的數(shù)學(xué)期望.
解:(Ⅰ)由到的最短路線有條,即為:,,.
;;
.故路線發(fā)生堵車事件的概率最小.
(Ⅱ)路線中遇到堵車次數(shù)可取值為.;
;;
. 故.
20.(本小題滿分12分)已知三棱錐中,在底面上的射影為
的重心,且.
(Ⅰ)求與底面所成的角的大小;
(Ⅱ)當(dāng)二面角的大小最小時,求三棱錐的體積.
解:(Ⅰ)如圖,連并延長交于點,依題意知,就是與底
面所成的角,且為的中點.∴,.
在中,,∴,故與底面所成的角.
(Ⅱ)過點作于,連,則,∴為二面角的平面角.
在中,斜邊上的高為,∴.
在中,.∴二面角
的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng).∴.
21.(本小題滿分12分) 已知橢圓經(jīng)過點,離心率,直線與
橢圓交于兩點(均異于點),且有.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:直線過定點.
(Ⅰ)解:易知,,,∴,,.故方程為.
(Ⅱ)證明:設(shè):與橢圓的方程聯(lián)立,消去得,.
設(shè),則.
,
∴.若,則:,
∴直線過定點.若,則:,∴直線過定點,
即為點(舍去).若斜率不存在,易知,符合題意. 綜上,直線過定點.
22.(本小題滿分14分)已知函數(shù)關(guān)于點成中心對稱,且.
(Ⅰ)求函數(shù)的表達式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足條件:,.
求證:.
(Ⅰ)解:由題意,,即,∴
對一切實數(shù)恒成立.得,又由得,
.故函數(shù)的表達式為.
(Ⅱ)證明:,∴.令,
則,,,∴.
故
.