理科數(shù)學(xué)試題(必修+選修Ⅱ)參考答案

一、選擇題：

(1)D　　　　　　　　　 (2)B　　　　　　　　　 (3)A　　　　　　　　　 (4)A　　　　　　　　　 (5)C　　　　　　　　　 (6)C

(7)D　　　　　　　　　 (8)D　　　　　　　　　 (9)B　　　　　　　　　 (10)D　　　　　　　 (11)C　　　　　　　 (12)A

二、填空題：

(13)　　　　　　　　　　　　 (14)　　　　　　　 (15)　　　　　　　　　　　　　 (16)

三、解答題：

(17)解：

(Ⅰ)由，根據(jù)正弦定理得，所以，

由為銳角三角形得．

(Ⅱ)

．

由為銳角三角形知，

，．

，

所以．

由此有，

所以，的取值范圍為．

(18)解：

(Ⅰ)由表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．

知表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”

，

．

(Ⅱ)的可能取值為元，元，元．

，

，

．

的分布列為

(元)．

(19)解法一：

(Ⅰ)作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383888_1/image175.gif">，所以，

又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，依題設(shè)，

故，由，，，得

，．

的面積．

連結(jié)，得的面積

設(shè)到平面的距離為，由于，得

，

解得．

設(shè)與平面所成角為，則．

所以，直線與平面所成的我為．

解法二：

(Ⅰ)作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383888_1/image175.gif">，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，所以．

(Ⅱ)取中點(diǎn)，，

連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．

，，．

，，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．

，．

，，

所以，直線與平面所成的角為．

(20)解：

(Ⅰ)的導(dǎo)數(shù)．

由于，故．

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)．

(Ⅱ)令，則

，

(ⅰ)若，當(dāng)時(shí)，，

故在上為增函數(shù)，

所以，時(shí)，，即．

(ⅱ)若，方程的正根為，

此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)．

所以，時(shí)，，即，與題設(shè)相矛盾．

綜上，滿足條件的的取值范圍是．

(21)證明：

(Ⅰ)橢圓的半焦距，

由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故，

所以，．

(Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)的斜率存在且時(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得．

設(shè)，，則

，

；

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383888_1/image265.gif">與相交于點(diǎn)，且的斜率為，

所以，．

四邊形的面積

．

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．

(ⅱ)當(dāng)的斜率或斜率不存在時(shí)，四邊形的面積．

綜上，四邊形的面積的最小值為．

(22)解：

(Ⅰ)由題設(shè)：

，

．

所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

，

即的通項(xiàng)公式為，．

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

(ⅰ)當(dāng)時(shí)，因，，所以

，結(jié)論成立．

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，

也即．

當(dāng)時(shí)，

，

又，

所以　　

．

也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．

根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知，．