證明: S(n)>(2ⁿ－2).f '()

參考答案

1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B 9.B 10.D 11.A 12.C

13. y=lnx－1(x>0)　　　 14. (0,3)　　 15. 1800　　　　 16. ②④

17.解: (1) ∵⊥, ∴.=0, ∴cosA+1－sinA=0 sinA－cosA=1,

sin(A－)= . ∵0<A<π, ∴－< A－<, ∴A－ = , ∴A=

(2) ∵b+c= a, ∴由正弦定理得: sinB+sinC= sinA =

∵B+C= ,　 ∴sinB+sin(－B)= 　 , cosB+sinB=

即 sin(B+) =

18.解: (1)ξ的可能取值為0, 3, 6, 12　　 P(ξ=12)= = ,　 P(ξ= 6) = = =

該同學得分不少于6分的概率為P=P(ξ= 6) + P(ξ=12) =

(2)P(ξ=3)= = ,　 P(ξ=0)=1－ － － =

ξ的分布列為:

數(shù)學期望:Eξ=0× + 3× + 6× + 12× =3　　

19. 解: (1) D為A₁C₁的中點, (D也可以是△A₁B₁C₁的邊A₁C₁中線上任一點).連結(jié)A₁B與AB₁交于E. 則E為A₁B的中點, DE為平面ABB₁A₁D與平面A₁BC₁的交線,

∵BC₁∥平面AB₁D, ∴BC₁∥DE, ∴D為為A₁C₁的中點

(2)過D作DF⊥A₁B于F, 由正三棱柱的性質(zhì), AA₁⊥DF, ∴DF⊥平面ABB₁, 連結(jié)EF, DE, 在正三角形A₁B₁C₁中, ∵D是A₁C₁的中點, ∴B₁D= A₁B₁= a, 又在直角三角形AA₁D中, ∵AD= = a , ∴AD=B₁D, ∴DE⊥AB₁, ∴可得EF⊥AB₁, 則∠DEF為二面角A₁－AB₁－D的平面角. 可求得DF= a　 ∵△B₁FE∽ △B₁AA₁, 得EF=a

∴ ∠DEF= , 即為所求.　

20. 解: (1) 由已知: a_n+1= 　 , ∴ = +1, ∴ + = 3( + ), 并且

+ = ∴數(shù)列{ + }為以為首項, 3為公比的等比數(shù)列

∴ + = .3^n－1, ∴ a_n=

(2)b_n= = － 　

∴S_n= b₁+b₂+…+b_n = － + － + …+ －

　　　 = －

21.解: (1) 設+ = 1　 (a>b>0), 設c>0, c²=a²－b², 由條件知: －c = = ,

∴a=1, b=c= 　　 故C的方程為: y²+ =1

(2) 由=λ　 得－ 　=λ(－) ∴(1+λ) = 　+ λ

∴ 1+λ =4　 , λ=3, 設l與橢圓C交點為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

　 得 (k+2)x²+2kmx+(m²－1)=0

△= (2km)²－4(k²+2)(m²－1)=4(k²－2m²+2)>0　　　 (*)

x₁+x₂= 　 , x₁x₂= ∵=3　 ∴－x₁=3x₂, ∴ x₁+x₂=－2x₂, x₁x₂=－3x₂²,再消去x₂, 得3(x₁+x₂)²+4x₁x₂=0 , ∴3()²+4=0 整理得4k²m²+2m²－k²－2=0

m²= 　 時, 上式不成立, m²≠　 時, k²= 　 由(*)式得k²>2m²－2　 因λ=3, ∴k≠0,

∴k²= >0, ∴－1<m<－, 或<m<1

即所求m的取值范圍為(－1,－)∪( , 1)

22.(1) 由f '(x)=a^xlna－1　 f '(x)>0 即: a^xlna>1, ∴a^x> , 又a>1, ∴x>－log_alna

同理: f '(x) <0, 有x<－log_alna　 所以f '(x)在(－∞, －log_alna)上遞減, 在(－log_alna, +∞)

上遞增, 所以f(x)_max=f(－log_alna) = , 若f(x)_max<0, 即 <0, 則

ln(lna)<－1, ∴l(xiāng)na< 　　　 ∴ a 的取值范圍是 1<a<

(2) S(n)=C_n¹(alna－1)+C_n²(a²lna－1)+ … +C_n^n－1(a^n－1lna－1),

　　　　　 = (C_n¹a+C_n²a²+…+C_n^n－1a^n－1)lna－(C_n¹+C_n²+…+C_n^n－1)

　　　　　 = [C_n¹(a+a^n－1)+C_n²(a²+a^n－2)++C_n^n－1(a^n－1+a)]lna－(2ⁿ－2)

　　　　 ≥ 　=

∴ 不等式成立.