九、直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體參考答案

1、D；2、C；3、B；4、D；5、；6、B；7、A；8、；9、D；10、；

11、D；12、

13. (I)證：三棱柱中， 又平面，

且平面，平面　　　　

　　　 (II)證：三棱柱中，中

　　 　　　　　　是等腰三角形，

　　　 　　　　E是等腰底邊的中點(diǎn)，

　　　 　　　　又依條件知，且

　　 　　　　　由①，②，③得平面EDB

　　　 (III)解：平面，且不平行，

　　　 　　　　　故延長(zhǎng)，ED后必相交，設(shè)交點(diǎn)為E，連接EF，如下圖

　　　 　　　　　是所求的二面角，依條件易證明

　　　 　　　　　為中點(diǎn)，A為中點(diǎn)，

　　 　　　　　　，， 即　

　　　 　　　　又平面EFB，，是所求的二面角的平面角

　　 　　　　　E為等腰直角三角形底邊中點(diǎn)，

　　　 　　　　故所求的二面角的大小為　

14、解: 以A₁B₁所在直線為軸，A₁D₁所在直線為y軸，A₁A所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

(1)設(shè)E是BD的中點(diǎn)，∵P－ABCD是正四棱錐，，

　　　　 又， ,　 ，

∴　 　= (－2,2,0)，　= (1,1,2)，

　　　 ∵　　　 .=0，∴　　　　　 ⊥，即　。

(2)設(shè)平面PAD的法向量是m = (x,y,z)， ∵= (0,2,0) ，　= (1,1,2) ，

　　　 ∴　　　 　Þ 　Þ ，

取得m = (－2,0,1)，∴cos<m,n> = 　= － ，

。

15．解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，是底面的中心，∥，∥．

則有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．

∵是的中點(diǎn)，是的重心，

∴它們的坐標(biāo)為，．

(1)．

∴、兩點(diǎn)間的距離為．

(2)，，設(shè)、的夾角為，，

∴．

∴異面直線、所成角的余弦值為．

(3)是的中點(diǎn)，可以證明直線是直線在平面上的射影．

故與所成角就是與平面所成的角．點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2，0)

∴=(0，2，0)，=(0，，-1)．

設(shè)、的夾角為，則．

∴與平面所成的角為．

16、(I)證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥CD，DA⊥AB，∵A點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn)

　　　 　　　∴PD⊥PB，又∵P點(diǎn)在平面BCD上的射影在CD上，∴過P點(diǎn)作PF⊥CD

　　　 　　　∴PF⊥面BCD，∴BC⊥面PCD，∴BC⊥PD，∴PD⊥面PBC， ∴PD⊥PC

　　 (II)解：∵PF⊥面BCD， ∴過點(diǎn)F作FE⊥BD，連結(jié)PE

　　　 　　　∴∠PEF為二面角P-BD-C的平面角，∵PD⊥PC，∴△CPD為Rt△

　　 　　　　，　

　 　　　　　又∵在中，，∴PE＝3

　 　　　　　，

　　 (III)解：過F點(diǎn)作FG⊥PE，由(2)可知FG⊥面PBD，連結(jié)GD

　　　 　　　　　∴∠GDF為直線CD與平面PDB所成的角

　　　 　　　　　∵在中，，∴DF＝2

　　　 　　　　　∵在中，，，

， 　

17、解：(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).

　　　　 設(shè)PA=a，則A(0，0，0)，B(2，0，0)C(2，2，0)，D(0，2，0)P(0，0，a)，

M(0，1，0)，N(2，1，0).　

∴MN⊥平面PAD. ∵M(jìn)N平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.

(II)平面PBA的一個(gè)法向量為.

∵直線PC與平面PBA成角的正弦值為　

即　

(III)由(I)，MN⊥平面PAD，知PM⊥MN，MQ⊥MN，

∴∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角.

而

18、解：(1)延長(zhǎng)到使，連結(jié)、，是中點(diǎn)，所以．

故直線和所成的銳角(或直角)就是和所成的角…2分

∵平面　∴，又．　∴．

是中點(diǎn)，故．所以，又，因此為等邊三角形．所以　∴直線和所成的角是　

(2)設(shè)到平面的距離為，則

∵，，　∴

(3)由上可知，，又是中點(diǎn)，故，

由平面平面，∴應(yīng)平面

故，即應(yīng)為過的的垂線和的交點(diǎn)．

由，所以的中垂線過點(diǎn)，即為點(diǎn)．

19、解：(I)證明：在△ABC中，AC＝BC，M為AB的中點(diǎn)，∴CM⊥AB，

又∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC　　　　　　　　　　　 ∴CM⊥平面ABB₁A₁，

而CM平面CMD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁

(II)解法一

　　　　　　 　 過M作ME⊥BD于E，連結(jié)CE，

∵CM⊥平面ABB₁A₁

∴ME是CE在平面ABB₁A₁上的射影，∴CE⊥BD，　　　　　　　 所以∠CEM是二面角的平面角．

　　　　　　 由＝1，則AB＝，，

　　　　　　 取MB的中點(diǎn)F，則BF＝，

∴

　　　　　　 由得：　

　　　　　　 在Rt△CME中，tan∠CEM＝

　　　　　　 所以∠CEM＝　

　　　　　　 即二面角的大小是　　　　　　　　

解法二(向量法)：以C為原點(diǎn)，分別以CA 、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令＝1，

則C(0，0，0)，A(1，0，0)，A₁(1，0，1)，

B(0，1，0)，B₁(0，1，1)，M(，，0)，

D(，，1)，C₁(0，0，1)，

∴，．

設(shè)平面CBD的法向量為，則

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 取，則，∴．

而平面MBD的法向量是＝(，，0)，

∴cos<，>＝，即<，>＝

如圖可知，二面角為銳角，∴二面角的大小為