直線的傾斜角和斜率、直線方程的點斜式、直線方程的斜截式 ［知識點］1. 直線的方程和方程的直線： 　　 定義： 　　 (1)以一個方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點都在直線l上。 　　 (2)直線l上的點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解。 　　 滿足(1)(2)的方程f(x，y)＝0是直線l的方程，同時稱直線l為方程f(x，y)＝0的直線。

2. 直線的傾斜角： 　　 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)與直線重合時，所轉(zhuǎn)過的最小正角為直線傾斜角。 　　 規(guī)定：當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°。 　　 范圍：0°≤α＜180° 　　 注意：(1)定義分兩部分：一部分是與x軸相交，另一部分與x軸平行。 　　 (2)與x軸相交的定義中，應(yīng)理解三個地方：①x軸繞交點旋轉(zhuǎn)；②逆時針方向；③最小正角。 　　 (3)應(yīng)特別注意傾斜角的范圍［0，π)。 　　 (4)任何一條直線有唯一傾斜角，表示直線的傾斜程度，但傾斜角為α的直線有無窮多條。

3. 直線的斜率： 　　 定義：傾斜角不是90°的直線，其傾斜角的正切，叫做這條直線的斜率。 　　 符號：常用k表示，即k＝tanα。 　　 注意：(1)所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率。 　　 調(diào)區(qū)間。 　　 (3)當(dāng)傾斜角為90°時斜率不存在，但直線存在。

4. 過兩點的直線斜率公式： 　　 公式推導(dǎo)：如圖，已知直線l過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，傾斜角為α，求斜率k。 　　 　　　　　　 　　 　　　　　　 　　 　　 　　 　　 注意：(1)斜率公式與點的順序無關(guān)。 　　 (2)由公式可知表示直線傾斜程度，可以由直線上兩點確點，無需求傾斜角。 　　 (3)當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時，α＝90°沒有斜率。 　　 (4)利用公式求斜率時，應(yīng)注意隱含條件x1≠x2。

6. 直線方程的點斜式： 　　 (1)方程的推導(dǎo)：略 　　 　　 (3)方程的特殊情況：y＝y(tǒng)1 　　 (4)不能用點斜式表示的直線：x＝x1

7. 直線方程的斜截式： 　　 (1)方程的推導(dǎo)：(略) 　　 (2)截距的概念：(是坐標(biāo)不是距離) 　　 (3)方程的形式：y＝kx+b 　　 (4)方程的特殊情況：y＝0 　　 (5)不能用斜截式表示的直線：x＝0 [典型例題] 　 例1. 已知直線l的斜率k滿足k>-2，求直線l的傾斜角的范圍。 　 　解：設(shè)直線l的傾斜角為α 　　 　　 　　 　 　　 　　 小結(jié)：已知直線l的斜率的范圍，求直線l的傾斜角的范圍時，常先畫出函數(shù)的圖象，然后再由圖象確定傾斜角的范圍。 　 例2. 求直線l的斜率。 　　 解：設(shè)直線l的傾斜角為α，由題意知直線AB的傾斜角為2α 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　 　小結(jié)：由2α的正切值確定α的范圍，及由α的范圍求α的正切值是本例中易忽略的地方，在解同類型題的過程中應(yīng)當(dāng)注意。 　 例3. 求經(jīng)過兩點P1(2，1)和P2(m，2)(m∈R)的直線l的斜率，并且求出l的傾斜角α及其取值范圍。 　 　解：(1)當(dāng)m＝2時，x1＝x2＝2 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　 　小結(jié)：利用斜率公式時，應(yīng)注意公式的應(yīng)用范圍。當(dāng)斜率k≥0時，直線的傾斜角為arctank；當(dāng)k＜0時，直線的傾斜角為π+arctank。 　 例4. 求證：A(1，-1)、B(-2，-7)、C(0，-3)三點共線。 　 　證法一：∵A(1，-1)、B(-2，-7)、C(0，-3) 　　 　　 　　 ∴直線AB與直線AC傾角相同且過同一點A 　　 ∴直線AB與直線AC為同一條直線 　　 故A、B、C三點共線 　　 證法二：∵A(1，-1)、B(-2，-7)、C(0，-3) 　　 　　 　　 　　 故A、B、C三點共線 　　 小結(jié)：解法一是利用了直線上任意兩個不同的點所確定的斜率都應(yīng)相等這一思想方法。解法二利用了共線向量定理，此法較簡單，此題還有其他一些解法。 　 例5. 已知兩點A(-3，4)、B(3，2)，過點P(2，-1)的直線l與線段AB有公共點。 　　 (1)求直線l的斜率k的取值范圍； 　　 (2)求直線l的傾斜角α的取值范圍。 　 　解：如圖所示，因為直線l與線段AB有公共點，所以l的傾斜角介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，當(dāng)l的傾斜角小于90°時，k≥kPB；當(dāng)l的傾斜角大于90°時，k≤kPA。 　　 　　 (1)∵l與線段AB有公共點 　　 ∴k的取值范圍是k≤-1或k≥3。 　　 (2)因為l的傾斜角介于直線PB的傾斜角和直線PA的傾斜角之間，又直線PB的傾斜角是arctan3，直線PA的傾斜角是 　　 　 例6. 如圖所示，直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則(　　 ) 　　 　　 (1995年全國高考題) 　 　分析：根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系判斷。 　　 解：法一根據(jù)直線的斜率k與傾斜角α的關(guān)系k＝tanα(0≤α＜π)，由圖可見k2＞k3＞0＞k1，故選D。 　　 　 例7. 已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對值的變化情況。 　　 (1)0°＜α＜90°；(2)90°＜α＜180°。 　 　分析：本題要討論的問題有兩個：第一，直線斜率的變化情況；第二，直線斜率的絕對值的變化情況。 　　 (2)首先要建立斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系以及斜率k的絕對值｜k｜與傾斜角α之間的關(guān)系，然后討論變化情況，必要時可先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象指出直線的斜率及其絕對值的變化情況。 　　 (3)用函數(shù)的性質(zhì)或圖象知識去討論。 　　 解：當(dāng)0°＜α＜90°時，tanα＞0 　　 (1)k＝tanα，｜k｜＝｜tanα｜＝tanα(0°＜α＜90°) 　　 ∴y＝k與y＝｜k｜的圖象相同(如圖所示) 　　 這時，直線的斜率與直線斜率的絕對值相等，且屬于(0，+∞)，直線的斜率及其絕對值隨著直線傾斜角的增大而增大。 　　 　　 當(dāng)90°＜α＜180°時，k＝tanα＜0 　　 　　 　　 當(dāng)0＜α＜90°時，直線斜率的變化范圍是(0，+∞)，隨著傾斜角在開區(qū)間 　　 當(dāng)90°＜α＜180°時直線斜率絕對值的變化范圍是(0，+∞)，隨著傾斜角在開 于0。 　 例8. 已知直線經(jīng)過點P(3，2)，傾斜角是直線x－4y+3＝0的傾斜角的2倍，求直線l的方程。 　 　解：設(shè)直線x－4y+3＝0的傾斜角為α 　　 　　 　　 又直線經(jīng)過點P(3，2) 　　 　　 　　 小結(jié)：先求出直線x－4y+3＝0的傾斜角，然后求出直線l的傾斜角，最后代入點P求出解析式。 　 例9. 已知直線過點P(-2，3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程。 　　 分析：關(guān)鍵是要求出斜率k。 　　 解：顯然，直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)直線的方程為y－3＝k(x+2) 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　 例10. 如果AC＜0，且BC＜0，那么直線Ax+By+C＝0不通過(　　 ) 　　 A. 第一象限　　　　　　　　 B. 第二象限 　　 C. 第三象限　　　　　　　　 D. 第四象限 (1991年全國高考題.文) 　　 答案：C 　 　分析：先求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點，再判斷。 　　 解：法一，由BC＜0，知B≠0 　　 　　 因為AC＜0，BC＜0，所以AB＞0 　　 　　 所以直線不通過第三象限，故選C。 　　 法二，取特殊值：A＝B＝1，C＝－1知滿足題設(shè)，此時方程為x+y－1＝0，由其圖象知，直線不通過第三象限，故選C。 　 例11. 線方程 　　 　　 　　 解： 　　 ∴其傾斜角α＝120° 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　 　 　　 　　 小結(jié)： [模擬試題]

1. 直線的傾斜角是(　　 ) 　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　 C. 　　　　　　 D.

2. 若直線的斜率為k，并且，則直線l的傾斜角α的范圍是__________。

3. 已知直線l過兩點，則此直線的斜率和傾斜角分別為(　　 ) 　　 A. 1，135°　　　　　　　　 B. 　　 C. 　　　　　　 D. 1，45°