數(shù)學(xué)試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(理科1)

一、選擇題(每題5分，共40分)

二、填空題(每題5分，共30分)

9．.　　 10．3m與1.5m.　　　 11．.

12．(或為正整數(shù)).注：填以及是否注明字母的取值符號(hào)和關(guān)系，均不扣分；

若填或可給3分.

13．. 　　14．<.

三、解答題(本大題共6小題，共80分)

15. 解：(1) ……………………………………………………2分

　 ………………………………………………………………………………………………4分

. …………………………………………………………………………………………………………6分

的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分

(2) ∵，∴　…………………………………………………………………8分

∴當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值是. ………………………10分

∵，∴. …………………………………………………………………………………………………12分

16. 方法一：(2) 證明：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，從而為等腰直角三角形，則，同理可得，∴，于是，…2分

又，且，∴，…………………………………………4分

∴，又，∴. …………………………………………………6分

(也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理)

(2) 如圖過作于，連，則，

∴為二面角的平面角. ………8分

設(shè)，則.

于是　…………………………………………………………10分

，有

解之得。

點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處. …………………………………………………………………………12分

方法二、向量方法.以為原點(diǎn)，所在直線為

　軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖. …………………………1分

(1)不妨設(shè)，則，

從而，………………………4分

于是，

所以所以　 …………………………………………………………………………………6分

(2)設(shè)，則，

則.………………………………………………………………………………8分

易知向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則應(yīng)有

　即解之得，令則，，

從而，………………………………………………………………………………………………………10分

依題意，即，解之得(舍去)，

所以點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)的處.…………………………………………………………………12分

17. 解：(1)由，令，則，又，所以.

，則.　　 ……………………………………………………………………………………2分

當(dāng)時(shí)，由，可得.

即.　 …………………………………………………………………………………………………………………………4分

所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是.　　 …………5分

(2)數(shù)列為等差數(shù)列，公差,可得. ………………7分

從而. ……………………………………………………………………………………8分

∴　 ……………10分

∴.　 …………………11分

從而.　 　 …………………………………………………………………………14分

18.(1)如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：，　 ………………………………………………2分

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，　 ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為　………………………5分

(2)由題可設(shè)直線的方程為，

由得　　　

　　 △，　 ………………………………………………………………………………7分

設(shè)，，則，……………………………………………9分

　　 由，即 ，，于是，……11分

即，，

　　 ，解得或(舍去)，…………………………………13分

又，　　 ∴ 直線存在，其方程為　………………………………………14分

19. 解：(1)這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀，則需要先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，種數(shù)是(或)，然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是。根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是。　…………………………………………………………………………………………………………………………………4分

這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有。　………………………………5分

故所求的概率.　………………………………………………………………………………6分

(2) 變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是

、.

可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高度正相關(guān). 　…………………………8分

(3) 設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是、.

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出，

.　　 ……………………………………………………10分

所以y與x和z與x的回歸方程分別是

、.　 …………………………………………………………11分

又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是、.　……13分

故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. …14分

20. (Ⅰ)由，得　……………………………………2分

函數(shù)為上單調(diào)函數(shù). 若函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.　　 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分

令，上述問題等價(jià)于，而為在上的減函數(shù)，則，于是為所求. …………………………………………………………6分

(Ⅱ)證明：由　得

　　 ……………………………………………………………………………7分

　 ………………………………………………………………8分

　　 而　 ①　 ………………………………………10分

　　　 又，　 ∴　 ② …………11分

∵　　 ∴，

∵　 ∴　 ③　 ……………………………………………………………………13分

由①、②、③得

即，從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù). …………14分