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11.已知對任意實數(shù),有,且時,,則時( )
A. B.
C. D.
12.如圖,三行三列的方陣中有9個數(shù),從中任取三個數(shù),則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
數(shù)學(xué)試題
(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案
一、選擇題:本大題考查基本概念和基本運算,每小題5分,滿分60分.
1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D 9.D 10.B
11.B 12.D
二、填空題:本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算,每小題4分,滿分16分.
13. 14. 15.
16.答案不唯一,如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.本小題主要考查兩角和差公式,用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運算能力,滿分12分.
解:(Ⅰ),
.
又,.
(Ⅱ),
邊最大,即.
又,
角最小,邊為最小邊.
由且,
得.由得:.
所以,最小邊.
18.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,二面角的大小,點到平面的距離等知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分12分.
解法一:(Ⅰ)取中點,連結(jié).
為正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
連結(jié),在正方形中,分別為
的中點,
,
.
在正方形中,,
平面.
(Ⅱ)設(shè)與交于點,在平面中,作于,連結(jié),由(Ⅰ)得平面.
,
為二面角的平面角.
在中,由等面積法可求得,
又,
.
所以二面角的大小為.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距離為.
設(shè)點到平面的距離為.
由得,
.
點到平面的距離為.
解法二:(Ⅰ)取中點,連結(jié).
為正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
取中點,以為原點,,,的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為.
,.
,,
令得為平面的一個法向量.
由(Ⅰ)知平面,
為平面的法向量.
,.
二面角的大小為.
(Ⅲ)由(Ⅱ),為平面法向量,
.
點到平面的距離.
19.本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識,考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力,滿分12分.
解:(Ⅰ)分公司一年的利潤(萬元)與售價的函數(shù)關(guān)系式為:
.
(Ⅱ)
.
令得或(不合題意,舍去).
,.
在兩側(cè)的值由正變負(fù).
所以(1)當(dāng)即時,
.
(2)當(dāng)即時,
,
所以
答:若,則當(dāng)每件售價為9元時,分公司一年的利潤最大,最大值(萬元);若,則當(dāng)每件售價為元時,分公司一年的利潤最大,最大值(萬元).
20.本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識,考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法,考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.
解法一:(Ⅰ)設(shè)點,則,由得:
,化簡得.
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為:
.
設(shè),,又,
聯(lián)立方程組,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,
.
解法二:(Ⅰ)由得:,
,
,
.
所以點的軌跡是拋物線,由題意,軌跡的方程為:.
(Ⅱ)由已知,,得.
則:.…………①
過點分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,
則有:.…………②
由①②得:,即.
21.本小題考查數(shù)列的基本知識,考查等差數(shù)列的概念、通項公式與前項和公式,考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì),考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運算能力.滿分12分
解:(Ⅰ)由已知得,,
故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
假設(shè)數(shù)列中存在三項(互不相等)成等比數(shù)列,則.
即.
,
.
與矛盾.
所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.
22.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識,考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題、解決問題的能力.滿分14分.
解:(Ⅰ)由得,所以.
由得,故的單調(diào)遞增區(qū)間是,
由得,故的單調(diào)遞減區(qū)間是.
(Ⅱ)由可知是偶函數(shù).
于是對任意成立等價于對任意成立.
由得.
①當(dāng)時,.
此時在上單調(diào)遞增.
故,符合題意.
②當(dāng)時,.
當(dāng)變化時的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
由此可得,在上,.
依題意,,又.
綜合①,②得,實數(shù)的取值范圍是.
(Ⅲ),
,
,
由此得,
故.