數(shù)學(xué)試題

(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案

一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分．

1．D　　　　　 2．B　　　　　　 3．C　　　　　　 4．B　　　　　　 5．A　　　　　 6．A　　　　　 7．C　　　　　　 8．D　　　　　 9．D　　　　　 10．B

11．B　　　　 12．D

二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分．

13．　　　　　　　　　 14．　　　　　　　　　 15．

16．答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等．

三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識(shí)以及推理和運(yùn)算能力，滿分12分．

解：(Ⅰ)，

．

又，．

(Ⅱ)，

邊最大，即．

又，

角最小，邊為最小邊．

由且，

得．由得：．

所以，最小邊．

18．本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．滿分12分．

解法一：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為

的中點(diǎn)，

，

．

在正方形中，，

平面．

(Ⅱ)設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由(Ⅰ)得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

(Ⅲ)中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

由得，

．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383971_1/image209.gif">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個(gè)法向量．

由(Ⅰ)知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

(Ⅲ)由(Ⅱ)，為平面法向量，

　　　　　　 ．

　　　　　　 點(diǎn)到平面的距離．

19．本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力，滿分12分．

解：(Ⅰ)分公司一年的利潤(rùn)(萬元)與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：

　　　　　　 ．

(Ⅱ)

　　　　　　　　　　　　　 　　　 ．

　　　　　　 令得或(不合題意，舍去)．

　　　　　　 ，．

　　　　　　 在兩側(cè)的值由正變負(fù)．

　　　　　　 所以(1)當(dāng)即時(shí)，

　　　　　　 ．

(2)當(dāng)即時(shí)，

，

所以

答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值(萬元)；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值(萬元)．

20．本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．滿分14分．

解法一：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)，則，由得：

，化簡(jiǎn)得．

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為：

．

設(shè)，，又，

聯(lián)立方程組，消去得：

，，故

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：(Ⅰ)由得：，

，

，

．

所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．

(Ⅱ)由已知，，得．

則：．…………①

過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，

則有：．…………②

由①②得：，即．

21．本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運(yùn)算能力．滿分12分

解：(Ⅰ)由已知得，，

　　　　　　 故．

　　　　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)得．

　　　　　　 假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)(互不相等)成等比數(shù)列，則．

　　　　　　 即．

　　　　　　 ，

　　　　　　 　　　　　 ．

　　　　　　 與矛盾．

　　　　　　 所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．

22．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．滿分14分．

解：(Ⅰ)由得，所以．

　　　　　　 由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

　　　　　　 由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．

　　　　　　 (Ⅱ)由可知是偶函數(shù)．

　　　　　　 于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．

　　　　　　 由得．

　　　　　　 ①當(dāng)時(shí)，．

　　　　　　 此時(shí)在上單調(diào)遞增．

　　　　　　 故，符合題意．

　　　　　　 ②當(dāng)時(shí)，．

　　　　　　 當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

(Ⅲ)，

，

，

由此得，

故．