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18.本小題主要考查拋物線的方程與性質(zhì),拋物線的切點與焦點,向量的數(shù)量積,直線與拋物線的位置關(guān)系,平均不等式等基礎(chǔ)知識,考查綜合分析問題、解決問題的能力.本小題滿分14分.
解:(I)設(shè)切點.由,知拋物線在點處的切線斜率為,故所求切線方程為.
即.
因為點在切線上.
所以,,.
所求切線方程為.
(II)設(shè),.
由題意知,直線的斜率存在,由對稱性,不妨設(shè).
因直線過焦點,所以直線的方程為.
點的坐標滿足方程組
得,
由根與系數(shù)的關(guān)系知
.
因為,所以的斜率為,從而的方程為.
同理可求得.
.
當時,等號成立.所以,四邊形面積的最小值為.