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21．解：(1)由

　　　 整理得　 ．

　　　 又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得

　　　 (2)方法一：

　　　 由(1)可知，故．

　　　 那么，

　　　 又由(1)知且，故，

　　　 因此　　　 為正整數(shù)．

方法二：

由(1)可知，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image453.gif">，

所以　　　 ．

由可得，

即　

兩邊開平方得　　 ．

即　 為正整數(shù)．

全國2文17

設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為．已知，求的通項(xiàng)公式．

解：由題設(shè)知，

則　　 ②

由②得，，，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image458.gif">，解得或．

當(dāng)時(shí)，代入①得，通項(xiàng)公式；

當(dāng)時(shí)，代入①得，通項(xiàng)公式．

全國1理22

已知數(shù)列中，，．

(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若數(shù)列中，，，

證明：，．

解：(Ⅰ)由題設(shè)：

，

．

所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

，

即的通項(xiàng)公式為，．

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

(ⅰ)當(dāng)時(shí)，因，，所以

，結(jié)論成立．

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，

也即．

當(dāng)時(shí)，

，

又，

所以　

．

也就是說，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．

根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)知，．

全國1文21

設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，

(Ⅰ)求，的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解：(Ⅰ)設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且

解得，．

所以，

．

(Ⅱ)．

，①

，②

②－①得，

．

遼寧理21

已知數(shù)列，與函數(shù)，，滿足條件：

，.

(I)若，，，存在，求的取值范圍；

(II)若函數(shù)為上的增函數(shù)，，，，證明對任意，(用表示)．

江西理22

設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對于任何，有．

(1)求，；

(3)求數(shù)列的通項(xiàng)．

解：(1)據(jù)條件得　　 ①

當(dāng)時(shí)，由，即有，

解得．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image083.gif">為正整數(shù)，故．

當(dāng)時(shí)，由，

解得，所以．

(2)方法一：由，，，猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1當(dāng)，時(shí)，由(1)知均成立；

2假設(shè)成立，則，則時(shí)

由①得

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image367.gif">時(shí)，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即時(shí)，成立．

由1，2知，對任意，．

(2)方法二：

由，，，猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1當(dāng)，時(shí)，由(1)知均成立；

2假設(shè)成立，則，則時(shí)

由①得

即　　　②

由②左式，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，

則．于是　?、?/p>

又由②右式，．

則．

因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則，

所以．

又因時(shí)，為正整數(shù)，則　　④

據(jù)③④，即時(shí)，成立．

由1，2知，對任意，．

江西文21

設(shè)為等比數(shù)列，，．

(1)求最小的自然數(shù)，使；

(2)求和：．

解：(1)由已知條件得，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image567.gif">，所以，使成立的最小自然數(shù)．

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image569.gif">，…………①

，…………②

得：

所以．

江蘇理20

已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，

(1)若是大于的正整數(shù)，求證：；(4分)

(2)若是某一正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；(8分)

(3)是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)的值，并加以說明；若不存在，請說明理由；(4分)

解：設(shè)的公差為，由，知，()

(1)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image584.gif">，所以，

，

所以

(2)，由，

所以解得，或，但，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image281.gif">是正整數(shù)，所以是整數(shù)，即是整數(shù)，設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為

，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=

現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可，，所以

，若，則，那么，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image607.gif">，只要考慮的情況，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image589.gif">，所以，因此是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為

與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。

(3)設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有

2設(shè)，所以2，令，則，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image593.gif">，所以，所以，即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。

湖南理21

已知()是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，…．

(I)證明：數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列；

(II)確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；

(III)證明：當(dāng)時(shí)，弦()的斜率隨單調(diào)遞增

解：(I)當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image634.gif">，所以．　　　　　　　　 …… ①

于是．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……②

由②－①得．　　　　　　　　　　　　　　 …… ③

于是．　　　 　　　　　　　　　　　　　　……　 ④

由④－③得，　　　　　　　　　　　　　　　　 …… ⑤

所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列．

(II)由①有，所以．由③有，，所以，．

而 ⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，

所以，，，

數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

(III)解法一：弦的斜率為

任取，設(shè)函數(shù)，則

記，則，

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，

所以時(shí)，，從而，所以在和上都是增函數(shù)．

由(II)知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，

取，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image676.gif">，所以．

取，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384021_1/image676.gif">，所以．

所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．

解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，

所以，．

故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．

湖南文20

設(shè)是數(shù)列()的前項(xiàng)和，，且，，．

(I)證明：數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列；

(II)試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列()中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)．