2.(廣東卷)在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的長為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點與坐標原點重合(如圖5所示).將矩形折疊,使A點落在線段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程;
(Ⅱ)求折痕的長的最大值.
.解(I) (1)當時,此時A點與D點重合, 折痕所在的直線方程
(2)當時,將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G(a,1)
所以A與G關于折痕所在的直線對稱,有
故G點坐標為,從而折痕所在的直線與OG的交點坐標(線段OG的中點)為
折痕所在的直線方程,即
由(1)(2)得折痕所在的直線方程為:
k=0時,;時
(II)(1)當時,折痕的長為2;
(1) 當時, 折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為
令解得 ∴
所以折痕的長度的最大值2