參考答案

一.選擇題(本大題12個(gè)小題,每小題5分,共60分.每小題只有一項(xiàng)符合要求)

二.填空題(每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上)

　　 13.　　　　　　　 14.①②③　 　　　　　　　15. 　　　　　　　　16.

三.解答題(本大題6個(gè)小題,共74分,解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)

　17.(本小題滿分12分)

　　　 設(shè)函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線.

　　　 ⑴求； 　　　　　　　　　　⑵求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

　　　 ⑶畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.

　 解：⑴∵是函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸,∴,∴.

　　　　　　　　 .∵,∴.

　　　 ⑵由⑴知,由題意得,

　　　 ⑶由

　18.(本小題共12分) (文)某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不

　　　 合格”,兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概

　　　 率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為,所有考核是否合格相互之間沒

有影響.

　　 (Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

　　 (Ⅱ)求這三人該課程考核都合格的概率.(結(jié)果保留三位小數(shù))

　　解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；

　　　 記為的對(duì)立事件,；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；

　　　 “丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件.

　　 (Ⅰ)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件,記為的對(duì)立事件.

　 解法：

　　　　　　　　　　　 .

　 解法：

　　　　　　 . ∴理論考核中至少有兩人合格的概率為.

　(Ⅱ)記“三人該課程考核都合格”為事件.

　　　　 .

　　　　 ∴這三人該課程考核都合格的概率為.

　　 (理)某城市有甲、乙、丙個(gè)旅游景點(diǎn),一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是,,,且

　　　　 客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響,設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)

　　　　 數(shù)之差的絕對(duì)值.

　　 (Ⅰ)求的分布及數(shù)學(xué)期望；

　　 (Ⅱ)記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件,求事件的概率.

　 解：(Ⅰ)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”,“客人游覽乙景點(diǎn)”,“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件.

　　　 由已知相互獨(dú)立, ,,.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值

　　　 為.相應(yīng)地,客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為,∴的可能取值為1，3.

　　　 ∴的分布列為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

.

　　 (Ⅱ)的可能取值為.當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

　　　　 當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)遞增.∴.

　19.(本題滿分12分)(文)已知函數(shù).

　　 (Ⅰ)求；　　　　 (Ⅱ)若,函數(shù)的圖象能否總在直線的下方?說(shuō)明理由.

　　 (Ⅲ)若函數(shù)在上是增函數(shù),是方程的一個(gè)根.求證：.

　 解：(文) (Ⅰ).

　　(Ⅱ)時(shí),,令得.由于,,

　　 ∴函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.

　 (Ⅲ)因函數(shù)在上是增函數(shù),∴在區(qū)間上恒成立,即在

　　　 區(qū)間上恒成立,∴,又由得,而,

　　　 即.

　 (理)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.

　 　　(Ⅰ)求的解析式；　　　 (Ⅱ)試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明你的結(jié)論；

　 　　(Ⅲ)若,且,證明：.

　　(理)解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí),.設(shè),則,∴

　　　　　 ,∵是奇函數(shù),∴,故.

　 (Ⅱ)設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且

　　　　　 則,當(dāng)時(shí),

　　　 　　,而及,∴,即在上

　　　　　 為減函數(shù).同理,當(dāng),,即在上為增函數(shù).

　　 (Ⅲ)∵,∴同號(hào),先證明均為正數(shù).∵在是增函數(shù),由得

　　　　　　 ,又,∴,∴.

　　　　　　 ∵,∴.且,即,∴,

　　　　　　　 .

　　　　　　 若均為負(fù)數(shù),,則.已知在上是增函數(shù),

　　　　　　 ,又,∴

　　　　　　 ∴,,∴.

　20.(本小題共12分)已知斜三棱柱,,,在底面上

　　　 的射影恰為的中點(diǎn),又知.

　　 (Ⅰ)求證：平面；　 　　　(Ⅱ)求到平面的距離；

　　　 (Ⅲ)求二面角的大小.

　　解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,又,∴平面,

　　　　　 得,又,∴平面.

　　 (Ⅱ)∵,四邊形為菱形,故,又為

　　　　　 中點(diǎn),知∴.取中點(diǎn),則平面,

　　　　　 從而面面,過作于,則面,

　　　　　　 　 在中,,故,即到

　　　　　 平面的距離為.

　　 (Ⅲ)過作于,連,則,從而

　　　　　 為二面角的平面角,在中,,

　　　　 ∴,在中,,故二面角的大小為.

　　 解法：(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn),則,∵,∴,

　　　　 又平面,以為軸建立空間坐標(biāo)系,

　　　　 則,,,,,,

　　　　 ,,由,知,

　　　　　 又,從而平面.

　　(Ⅱ)由,得.設(shè)平面的法向量

　　　　　　 為,,,,設(shè),則.

　　　 ∴點(diǎn)到平面的距離.

　 (Ⅲ)設(shè)面的法向量為,,,∴.

　　　　　　 　 設(shè),則,故,根據(jù)法向量的方向

　　　　　 可知二面角的大小為.

　21.(本小題滿分12分)設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等

　　 于焦距,且為它的右準(zhǔn)線.

　　 ⑴求橢圓的方程；

　　 ⑵設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn),若直線、　

　　　　 分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、,證明：點(diǎn)在以

　　　　 為直徑的圓內(nèi).

　　解：⑴依題意得,,解得,從而.故橢圓的方程為.

　?、平夥?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384048_1/image088.gif">：由⑴得,,.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上,∴?、?又點(diǎn)異于

　　　 點(diǎn)、,∴,由三點(diǎn)共線得.∴,,

　　　 ∴　 ②.將①代入②,化簡(jiǎn)得.

　　 ∵,∴,則為銳角,∴為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

　　 解法：由⑴得,,設(shè).則,.又的中點(diǎn)

　　　 　　為,依題意,點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差

　　　　　 ?、?又直線：,

　　　　　 直線：,而兩直線與的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上,∴,即

　　　　 　④.又點(diǎn)M在橢圓上，則，即　⑤.于是將④、⑤

　　　　　 代入③,化簡(jiǎn)后可得.從而,點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

　22.(本小題滿分14分)(文)已知數(shù)列滿足,且對(duì)一切,有,其中.

　　 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；　　 　　　　　　　　　　(Ⅱ)求證：.

　　 解：(文)(Ⅰ)由　?、佟　?得　?、凇　　　　?②-①得

　　　　　 ,∵, ∴.

　　　 　　由,得,兩式相減,得.

　　　 　　∵,∴.當(dāng)時(shí)易得,,,∴.

　　　 　　從而是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為,公差,故.

　　 (Ⅱ).

　(理)已知數(shù)列中,,.

　　　　 ⑴求及通項(xiàng)；

　　　　 ⑵設(shè)數(shù)列滿足，求證：.

　 解：⑴,?、伲?　?、?/p>

　　　　　　　　 ①②得,即,,

　　　　　　　 ∴.∴.

　　　 ⑵由⑴得,,∴是單調(diào)遞增數(shù)列.

　　　　　 故要證,只需證.若,則顯然成立.

　　　　　 若,則.∴.

　　　　　 因此,, ∴,故.