題目所在試卷參考答案：

08年高考理科數(shù)學(xué)模擬考試題卷

參考答案

一、選擇題：(本大題共10個(gè)小題；每小題5分，共50分。)

題 號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	D	B	C	A	D	C	A	B	A	D

二、填空題：(本大題共5小題，每小題5分，共25分。)

11、；　　　 　　　　　12、　 ；

13、1；　　　　　 14 、720；　　　　　　　　　　 15、②④；

三、解答題：(本大題共6小題，共75分。)

16、(本小題滿分12分)

解：(I) 當(dāng) x = 時(shí)，cos <a,c> = 　　　　　 ………… 1分

　= 　 ………… 2分

　= －cos x = －cos = cos 　　　　　 ………… 3分

∵　　 0≤<a,c>≤p，　　　　 ………… 4分

∴ <a,c> = 　　　 ………… 5分

(II)　 f (x) = 2a.b + 1 = 2 (－cos ² x + sin x cos x) + 1　　　　 ………… 6分

　= 2 sin x cos x－(2cos ² x－1) 　　 ………… 7分

　= sin 2x－cos 2x　 ………… 8分

　= sin (2x－)　　　 ………… 9分

∵　　 x∈[,]，∴ 2x－∈[,2p]，　　 ………… 10分

故 sin (2x－)∈[－1,] 　　　 ………… 11分

∴　　 當(dāng) 2x－= ，即 x = 時(shí)，f (x)_max = 1　　　　　　 ………… 12分

17、(本小題滿分12分)

解：(I) n = 1 時(shí)，2.a₁ = S₁ = 3,∴a₁ = ;　　　　　 …………2分

當(dāng) n≥2 時(shí)，2 ⁿ.a_n = S_n－S_n－1 = －6，∴ a_n = . 又　 ≠ 　　　…………4分　　　　　

∴　　 通項(xiàng)公式a_n = 　　　　　　　　　　　　…………6分

(II)當(dāng) n = 1 時(shí)，b₁ = 2－log ₂ 　= 3，∴ T₁ = 　= ； …………8分

　n≥2時(shí)， b_n = n.(2－log ₂) = n.(n + 1)， ∴ 　= 　…………10分

∴　　 T_n = 　+ 　+ … + 　= 　+ 　+ 　+ … + 　= －

∴　　 T_n = －　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

　

18、(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)∵　 B₁D⊥平面ABC，　 AC平面ABC，

∴　 B₁D⊥AC, 又AC⊥BC,　 BC∩B₁D=D．

　　　　　 　∴ AC⊥平面BB₁C₁C．　　　　 　　　　　　　　　　　　　…………………… 3分

　(Ⅱ)　∵ AC⊥平面BB₁C₁C ，要使AB₁⊥BC₁ ，由三垂線定理可知，

只須B₁C⊥BC₁，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 5 分

　　 　　　　　　∴　 平行四邊形BB₁C₁C為菱形， 此時(shí)，BC=BB₁．

　　　　　　　　 又∵ B₁D⊥BC, 要使D為BC中點(diǎn)，只須B₁C= B₁B，即△BB₁C為正三角形，　　 ∴　 ∠B₁BC= 60°．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 7分

　∵ 　B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，

　　　　　　　 ∴ ∠B₁BC即為側(cè)棱與底面所成的角．

故當(dāng)α=60°時(shí)，AB₁⊥BC₁，且使D為BC中點(diǎn)…………………… 8分

(Ⅲ)過C₁作C₁E⊥BC于E，則C₁E⊥平面ABC．

過E作EF⊥AB于F，C₁F，由三垂線定理，得C₁F⊥AB．

∴∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．………………… 10分

設(shè)AC=BC=AA₁=a，

在Rt△CC₁E中，由∠C₁BE=α=，C₁E=a．

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a．

∴∠C₁FE=45°，故所求的二面角C₁-AB-C為45°．………… 12分

解法二：(1)同解法一 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………… 3分

(Ⅱ)要使AB₁⊥BC₁，D是BC的中點(diǎn)，即=0，||=||，

∴， =0，∴．

∴，故△BB₁C為正三角形，∠B₁BC=60°；

∵　 B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，　 　　　　　　　…………………… 7分

　　　　　　 ∴ ∠B₁BC即為側(cè)棱與底面所成的角．

　　　　　 故當(dāng)α=60°時(shí)，AB₁⊥BC₁，且D為BC中點(diǎn)．　　　　　 …………………8分

(Ⅲ)以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，經(jīng)過C點(diǎn)且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，－，a)，

平面ABC的法向量n₁=(0，0，1)，設(shè)平面ABC₁的法向量n₂=(x，y，z)．

由n₂=0，及n₂=0，得

　　　∴n₂=(，，1)．………………10分

cos<n₁, n₂>＝= ，

故n₁ , n₂所成的角為45°，即所求的二面角為45°．……………………12分

19、(本小題滿分12分)

解：(I) x 的所有可能取值為3400，2400，1400，400.………………2分

(II) P(x = 3400) = ( ) ³ = ……………………4分

　P(x = 2400) = C₃¹( ) ( ) ² = ………………6分

　P(x = 1400) = C₃²( ) ² ( ) = ………………8分

　P(x = 400) = C₃³( ) ³ = ……………………10分

　x 的分布列為

x	3400	2400	1400	400
P

……………………………………10分　　　　　　 ……12分

　20、(本小題滿分13分)

解：(Ⅰ)設(shè)，由　　 ，得

由在雙曲線上，有

　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　 ②…………………………………………2分

由，即，得

，　　　　　　 ③………………………………………4分

①+2×③+②，并整理，得

這表明點(diǎn)恒在雙曲線上.……………………………6分

(Ⅱ)同(Ⅰ)所設(shè)，由，得

當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，有

即，亦即

…………………10分

將①②③三式代入上式，得，從而因此，不存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)在題設(shè)雙曲線的漸近線上.…………………13分

21、(本小題滿分14分)

解：(I) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2　　 ………… 1分

　Þ (p－q) (e + ) = 0　　　　　　 ………… 2分

而 e + ≠0，∴　　　　　　 p = q ……………………………………………………3分

(II)由(I)知 f (x) = px－－2ln x

　f ' (x) = p + －= 　……………………4分

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分

① 當(dāng) p = 0時(shí)， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f ' (x) = －　< 0，

∴　　 f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故 p = 0適合題意.　　 ………………………….6分

② 當(dāng) p > 0時(shí)，h(x) = px ²－2x + p，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為 x = ∈(0,+¥)，∴　　　　 h(x)_min = p－

只需 p－≥0，即 p≥1 時(shí) h(x)≥0，f ' (x)≥0，

∴ f (x) 在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞增，

故 p≥1適合題意.　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………………………7分

③當(dāng) p < 0時(shí)，h(x) = px ²－2x + p，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為 x = Ï (0, + ¥).

只需 h(0)≤0，即 p≤0時(shí) h(x)≤0在 (0, + ¥)恒成立.

故 p < 0適合題意.　 ……………………8分

綜上可得， p≥1或 p≤0.　　　　　 ……………………………………………9分

另解：(II)　　　　 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x

　f’(x) = p + －= p (1 + )－

要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.

由 f’(x)≥0 Û p (1 + )－≥0 Û p≥　Û p≥()_max，x > 0

∵　　 ≤ = 1，且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立，故 ()_max = 1

∴　　 p≥1

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤ 　Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 時(shí)，→ 0，故 p≤0

綜上可得，p≥1或 p≤0　　　　

(III) ∵　　 g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù)

∴　　 x = e 時(shí)，g(x)_min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)_max = 2e

即　　 g(x) Î [2,2e] 　　　　　　 ………… 10分

① p≤0 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合題意?！?…… 11分

② 0 < p < 1 時(shí)，由x Î [1,e] Þ x－≥0

∴　　 f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式，故在 [1,e] 遞增

∴　　 f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合題意。…… 12分

③ p≥1 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是減函數(shù)

∴　　 本命題 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e]

　Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

　Þ p > (∵ >1)　　　　 ………… 13分

綜上，p 的取值范圍是 (,+¥)　　　　 ………… 14分