1．平面向量是教材新增內(nèi)容之一，其數(shù)形結(jié)合的特點使得它成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中繼函數(shù)之后的第二條主線．向量是數(shù)學(xué)中重要概念之一．向量為解決數(shù)學(xué)、物理中的問題提供了新的工具.

2.有關(guān)平面向量的考查熱點在兩個方面：一是對向量基本概念、基本運算的考查；二是對向量的工具作用的考查，即運用向量知識解決平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等中的簡單問題．

4．在2007年全國各省市的高考試卷中，向量在各種題型中都有出現(xiàn).選擇題、填空題的形式主要考查向量的模、夾角、數(shù)量積以及向量間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能．而在解答題中則主要與三角形、函數(shù)、空間幾何體、圓錐曲線等結(jié)合、交匯.

5．按教材編排體系，解三角形在本專題中復(fù)習，即正、余弦定理(及其各種變形)運用于三角形形狀的判斷、證明三角形中的邊角恒等式、定比分點及求解有關(guān)實際應(yīng)用問題這也是高考熱點之一．

6．對于學(xué)有余力的學(xué)生，可以適當補充簡單的空間解析幾何知識，如空間直角坐標系中平面的方程(特別是平面的截距式方程)，點到平面的距離公式等.

7．知識網(wǎng)絡(luò)

考點一：向量的概念與運算 例題1：下面有四個關(guān)于向量數(shù)量積的關(guān)系式： ①0.0＝0；②(a.b).c＝a.(b.c)；③a.b＝b.a；④|a.b|≤a.b 其中正確的是(　　 ) A.①②　　　　　　　　　　　　　 B.②③　　　　　　　　　　　　　　　 C.③④　　　　　　　　　　　　　　　　 D.①③ 解析：根據(jù)向量運算法則，①和③是正確的. 對于②，(a.b).c是一個與向量c平行的向量，而a.(b.c)是一個與向量a平行的向量，通常情況下不正確；對于④，|a.b|是一個正實數(shù)，而a.b可能是一個負實數(shù). 答案：D 點評：從向量的基本運算法則出發(fā)，細心判斷.這里要特別注意向量0與實數(shù)0的區(qū)別. 例題2：平行四邊形OACB中，BD＝BC，OD與BA交于E，求證：BE＝BA 證明：設(shè)E’是AB上一點，且BE’＝BA 只需證E、E’重合即可， 設(shè)，則 ∵ ∴3( ∴ ∴，∴O、E’、D三點共線，即E、E’重合 ∴BE＝BA 點評：用向量方法證明平面幾何問題，首先是選擇一組適當?shù)幕紫蛄?，然后再設(shè)法將其余相關(guān)向量都用基底向量表示出來，這樣，相關(guān)點、線關(guān)系就能很容易第凸現(xiàn)出來. 考點二：定比分點與解三角形 例題3：已知平行四邊形ABCD的三個頂點坐標分別是A(－2，1)，B(3，4)，C(－1，3)，則第四個頂點D的坐標為(　　 ) A.(2，2)　　　　　　　　　　　　 B.(－6，0)　　　　　　　　　　　　 C.(4，6)　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都不對 解析：本題只需要抓住平行四邊形的兩條對角線互相平分， 于是設(shè)D(x,y)，有－2+(－1)＝3+x且1+3＝4+y 從而x＝－6,y＝0 答案：B 點評：利用平面幾何性質(zhì)及中點坐標公式，是解決本題的要點. 例題4：已知C為線段AB上一點，P為直線AB外一點，滿足||＝2，|－|＝2，，I為PC上一點，且＝+λ()(λ＞0)，則的值為_______. [點撥]確定PC、AI分別為∠APB、∠BAP的平分線，進而確定I在三角形中的位置. 解：cos∠APC cos∠BPC 所以∠APC＝∠BPC，即PC平分∠APB ∵(λ＞0) ∴(λ＞0) 又均為單位向量，由向量的平行四邊形法則，知AI平分∠PAB 又I在PC上，故I是△ABP的內(nèi)心 又cos∠IBD＝(D為⊙I與AB的切點) 由＝2 又 解得：cos∠IBD＝＝－1 [點評]1、三角形中四心的向量表示：2、本題通過內(nèi)切圓的切點D找出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，技巧性較強，考查圓的切線性質(zhì). 考點三：向量與立體幾何 例題5：如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2，E為BD1的中點，F(xiàn)為AB的中點. (1)求證：EF∥平面ADD1A1； 　 (2)若BB1＝，求A1F與平面DEF所成角的大小. 解析：(1)連結(jié)AD1，在△ABD1中， ∵E、F分別是BD1、AB的中點，∴EF∥AD1. 又EFË平面ADD1A1 ∴EF∥平面ADD1A1 (2)建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz 　(DG是AB邊上的高) 則有A1()，F(xiàn)(，0) 　D1(0，0，)，B(，0) ∴E() 設(shè)平面DEF的法向量為＝(x，y，z) 則Þ 解得y＝－x，z＝x 取非零法向量＝(1，－，) ∴A1F與平面DEF所成的角即是所成銳角的余角 由cos<>＝＝＝－ ∴A1F與平面DEF所成教的大小為－arccos，即arcsin. 點評：立體幾何中，二面角問題幾乎每年必考，幾何法也有很多解決方法，如直接法、垂面法、三垂線法、面積射影法等等，這些方法都離不開嚴密的邏輯證明.而向量法則以算代證，從一定程度上減輕了對邏輯思維的要求，但也應(yīng)該注意到，向量法計算較為煩瑣，運算量較大，必須小心謹慎，否則也極易出現(xiàn)差錯. 例題6：如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠ BCD＝60° ⑴證明：C1C⊥BD； ⑵假定CD＝2，CC1＝，記面C1BD為α，面CBD為β，求二面角α－BD－β的平面角的余弦值；⑶當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明. ⑴證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于O，連結(jié)C1O ∵四邊形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BC＝CD 又∵ ∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C， ∴ △C1BC≌△C1DC ∴ C1B＝C1D ∵DO＝OB∴ C1O⊥BD 但AC⊥BD，AC∩C1O＝O ∴ BD⊥平面AC1， 又CC1∩平面AC1∴ CC1⊥BD 證法二：設(shè)CD、CB、CC1三個方向上的單位向量分別為、、 則、、兩兩成60°角 且，, 則 于是＝mn(＝0 故 CC1⊥BD ⑵解：由⑴知AC⊥BD，C1O⊥BD ∴ ∠C1OC是二面角α－BD－β的平面角 在△C1BC中，BC＝2，C1C＝，∠BCC1＝60° ∴ C1B2＝22+()2－2×2××cos60°＝ ∵∠OCB＝60°，∴ OB＝BC＝1 ∴ C1O2＝C1B2＝OB2＝ ∴ C1O＝，即C1O＝C1C 作C1H⊥OC，垂足為H. ∴點H是OC的中點，且OH＝， ∴ cos∠C1OC＝. ⑶當＝1時，能使A1C⊥平面C1BD 證明一：∵＝1 ∴ BC＝CD＝C1C 又∠BCD＝∠C1CB＝∠C1CD 由此可推得BD＝C1B＝C1D ∴三棱錐C－C1BD是正三棱錐. 設(shè)A1C與C1O相交于G. ∵ A1C1∥AC，且A1C1：OC＝2：1 ∴ C1O：GO＝2：1 又C1O是正三角形C1BD的BD邊上的高和中線， ∴點G是正三角形C1BD的中心. ∴ CG⊥平面C1BD 即 A1C⊥平面C1BD. 證明二：由⑴知，BD⊥平面AC1 ∵ A1C∩平面AC1，∴ BD⊥A1C. 當＝1時，平行六面體的六個面是全等的菱形. 同 BD⊥AC1的證法可得BC1⊥A1C 又BD⊥BC1于B ∴ A1C⊥平面C1BD 證法三：設(shè)＝x，即 由(2)可知：BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C 由線面垂直得判定定理，知：如果A1C⊥DC1，則A1C⊥平面C1BD成立. ∵＝m+m+ 　 ＝－m+ 又∵＝0 ∴(m+m+)(－m+e3)＝0 展開整理得：－＝0 ∴x＝1 以上各步可逆，所以x＝1時，即＝1時，A1C⊥平面C1BD 點評：空間向量中，基底向量的使用是學(xué)生的一個弱項，許多學(xué)生動輒建立坐標系，對于垂直條件“不足”的問題往往感到手足無措，本題就是一例.從本題的向量證明方法中，還可以明確看到不僅解決了幾何證法中“有一解”的問題，而且明確了“只有一解”的充要關(guān)系. 考點四：向量與其他知識點綜合問題 例題7：已知A、B、C是△ABC三內(nèi)角，向量且m.n＝1 (1)求角A (2)若 解析：(1)∵ ∴　 即 ， sin(A－)＝ ∵　 ∴ ∴A＝ (2)由題知，整理得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0 ∴cosB≠0 ∴tan2B－tanB－2＝0 ∴tanB＝2或tanB＝－1 而tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去 ∴tanB＝2 ∴tanC＝tan[π－(A+B)]＝－tan(A+B) 點評：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當前的一個熱點，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識點. 例題8：設(shè)向量＝(1，0)，＝(0，1)，＝(x+m)+y，＝(x－m)+y，且||+||＝6，0＜m＜3，x＞0，y∈R. 　(1)求動點P(x，y)的軌跡方程； (2)已知點A(－1，0)，設(shè)直線y＝(x－2)與點P的軌跡交于B、C兩點，問是否存在實數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由. 解析：(1)∵＝(1，0)，＝(0，1)，||+||＝6 ∴＝6 上式表示動點P(x，y)到兩定點F1(－m，0)和F2(m，0)的距離之和為6 而0＜m＜3，故|F1F2|＜6 故P點軌跡為以F1、F2為焦點，長軸長2a＝6的橢圓， 于是a＝3，c＝m，b2＝9－m2 故P點軌跡方程為＝1(x＞0，0＜m＜3) (2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2) ∵＝(x1+1，y1)，＝(x2+1，y2)， ∴＝x1x2+(x1+x2)+1+y1y2 而y1y2＝(x1－2).(x2－2)＝[x1x2－2(x1+x2)+4] ∴＝x1x2+(x1+x2)+1+[x1x2－2(x1+x2)+4] 　　　　 ＝[10x1x2+7(x1+x2)+13] 若存在實數(shù)m，使得成立 則由[10x1x2+7(x1+x2)+13]＝ Þ　 10x1x2+7(x1+x2)+10＝0　　　　　　 ……① 由 消去y得：(10－m2)x2－4x+9m2－77＝0　　 ……② 由②有 由①④⑤解得m2＝＜9，且此時△＞0 但由⑤，有9m2－77＝＜0與題設(shè)矛盾 ∴不存在符合題意的實數(shù)m，使得. 點評：向量與解析幾何的綜合問題，通常是利用向量的幾何特性來描述解析幾何中的圖象性質(zhì)，一般解決辦法是利用向量的坐標表示，“盡快”轉(zhuǎn)化為純解析幾何問題求解.當然也不排除利用平面幾何性質(zhì)，直接將向量特征轉(zhuǎn)化為幾何特征，更快地得到問題的解.