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(人教版第121頁 例1)
題目意圖:用平面向量的方法證明平面幾何命題:平行四邊形兩條對角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍
變式1:如圖,矩形ABCD內接于半徑為r的圓O,點P是圓周上任意一點,
求證:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
證明: ,
,
,
,
以上各式相加可證.
變式2:已知△ABC中,,若,求證:△ABC為正三角形.
證明:, ∴, 又∵, ,
故 , 知a=b, 同理可知b=c , 故a=b=c , 得證.
變式3:已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于E,O是任意一點,求證.
[證明] ∵E是對角線AC與BD的交點,∴.
在△OAC中,,
同理有.
四式相加可得:.
變式4:四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F,
求證:
[證法一] ∵E、F分別為DA、BC的中點.
∴
又∵=0①
=0②
①+②,得2=0
∴2
∴
[證法二] 連結EC,EB
∵,①
②
①+②,得2+0=,
∴
又∵③
④
③+④,得
又∵=0,
∴.