解題必須有思想的指導(dǎo),也就是說,數(shù)學(xué)解題的基本方法是具有思想性的. 數(shù)學(xué)的思想是數(shù)學(xué)基本方法的靈魂. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，有意識(shí)地揭示這些數(shù)學(xué)基本方法中所隱含的數(shù)學(xué)思想, 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中形成一些數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)；在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成、完善過程中，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去觀察、分析數(shù)學(xué)問題，不斷地獲取、積累、深化這些數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，使這些數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)能夠在數(shù)學(xué)思維中升華為數(shù)學(xué)意識(shí),從而就能從根本上提高思維能力, 提升思維層次,提高數(shù)學(xué)能力,這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法之一,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的. 例1．已知 , ,求 　的值. 分析(1) ,,在公式 中是聯(lián)系在一起的,由此,我們可以下面的解法. 解法(1) ∵ , ∴ ===8. 分析(2) 顯然由和要分別解出的值是不可能的,但是,我們可以利用和消去中的變?cè)?從而得的值,也就是說,消元就是解這個(gè)問題的指導(dǎo)思想,而且, 消元在代數(shù)式的求值中具有一般的指導(dǎo)意義. 解法(2) ∵ , , ∴ , , ∴ = 　　　　　　　 = 　　　　　　　 = 　　　　　　　 =8. 例2. 設(shè)，求證：. 證明方法(一): = =　　 (1) > 故成立. 證明方法(二) == ∴ == 故成立. 問題: ①表達(dá)式(1)是如何冒出來的? ②證明方法(一)與證明方法(二)有什么關(guān)系? 例3．化簡：. 分析: 這是一個(gè)極容易的化簡題, 學(xué)生很可能盲目地獲得結(jié)果.我們要問: 解本題的指導(dǎo)思 想是什么? 先看下面兩個(gè)解法: 解法(一): 原式= = = = =1 解法(二): 原式= = =1 說明: 證明方法(一)中將被化簡式的表達(dá)形式與公式掛鉤不容易, 因此，這一種方法的 技巧性較強(qiáng).證明方法(二)的指導(dǎo)思想是:“消元”. 我們又要問:消元的方法是什么? 回答是: ① 減少三角函數(shù)名稱,② 減少角的表達(dá)形式. 由證明方法(二)的指導(dǎo)思想還可以獲得以下證明方法: 解法(三) 原式消元成只含的表達(dá)式而被化簡. 原式= 　　 = =1 解法(四) 原式消元成只含的表達(dá)式而被化簡. 原式=　 　　 = 　 　　 =1 例4．已知圓，直線過定點(diǎn)A (1，0)． (1)若與圓相切，求的方程；　　　　　　 (2)若與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又與的交點(diǎn)為N，判斷是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由. (1) 解：①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意．　　 ②若直線斜率存在，設(shè)直線為，即． 由題意知，圓心(3，4)到已知直線的距離等于半徑2，即： ， 解之得　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 所求直線方程是，。　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 (2) 解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線方程為 由　 得．　　　　 　　　　 又直線CM與垂直，由　得．　　　 　 ∴　 　 　　　　 為定值.　　 故是定值，且為6.　　　　　　　　　　　　　　　 解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線方程為. 由　 得．　　　 　　　　　　 再由　得． ∴ 　　得． 　　 以下同解法一． 解法三：用幾何法， 如圖所示，△AMC∽△ABN，則，可得，是定值． 說明: 顯然, 由于應(yīng)用了平面幾何知識(shí), 解法(三)比解法(一)、解法(二)簡潔. 例5． 雙曲線的離心率為，A、F分別是雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交雙曲線的右支于P、Q兩點(diǎn)，交y軸于R點(diǎn)，AP、AQ分別交右準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn). (1) 若，求直線的斜率； (2) 證明：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為. 解: (1)解：設(shè)， ∵　 雙曲線的離心率為， ∴　 ，雙曲線方程為， ∵ ， ∴， ∵ 直線為,　 ∴ ， ∵ 點(diǎn)Q是雙曲線上一點(diǎn)， ∴ ，整理得，　 　 解得. (2)證明：設(shè)由題設(shè)可知:直線的方程為　,直線的方程為.　 ∴ ， ∴ ， 由得 ∴ ， ， ∴ .(k不存在要作特殊處理) 例6．　 (揚(yáng)州市2008屆高三第二次調(diào)研測(cè)試) 已知圓C：，直線，且直線與圓C交于，點(diǎn)滿足. (1) 當(dāng)時(shí),求的值; (2) 若,求的取值范圍. 解：(1)當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓上，故當(dāng)且僅當(dāng)直線過圓心時(shí)滿足， ∵ 圓心的坐標(biāo)為(1，1)， ∴ . 設(shè), 由　消去可得,, ,　 , ∵　 ,　 ∴ , ∴ ,　 ,　 即 , ∴ , 方法(1)　 對(duì)進(jìn)行整理, 方法(2)　 對(duì)進(jìn)行整理, 令, 則函數(shù)的圖象與軸在上有公共點(diǎn),若,則,故不可取. 故 ∴　 或或 或或 顯然, 方法(1)和(2)不易求解. 方法(3) 由得,　 　 ① 令 　　 () ∴ ,　 ,　 　　　, ,　 ∴　 2<,　 解得,或 ② 令 ,則 ∴ 在上為單調(diào)減函數(shù), ∴　 ∵　 = ∴　 2, 2,　 解得,或 例7．蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市2007年第二次模擬考試題(題20) 已知點(diǎn)都在橢圓()上，分別過兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有成立. (1)求此橢圓的離心率; (2)設(shè),,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求證: 始終是定植. 分析: 本題是一個(gè)求值的問題. 在高中數(shù)學(xué)中, 求值的一般方法是:一是給出未知量的方程,解這個(gè)方程得值,題(1)可用這一思想;二是給出未知量的函數(shù)表達(dá)式,對(duì)表達(dá)式消元得值,題(2)可用這一思想.題(2)給出未知量的函數(shù)表達(dá)式的方法有兩種: (1) 解: 當(dāng)時(shí)，， ∴ , , ∴ . 由橢圓的定義,得, ∴ , 在直角三角形中, ∵ , ∴ 　　∴ . (2) 解：由可知,, 故橢圓的方程可化為,焦點(diǎn)為. 設(shè),,. 方法① .當(dāng)直線的斜率存在時(shí), 方法(1)直線的方程為,代入橢圓方程,得 , ∴ , ,　 ∵ ,　 ∴ ,　 , 同理可得, ,　　 ∴ +, ∴ .　　　　　　　　 方法(2)直線的方程為,代入橢圓方程,得 -, . ∵ ,　 ∴ ,　 , , ∴ ,　 同理可得, , ∴ +=. .當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),, . 綜上所述, 是定值. 方法② ∵ ,, ∴ ,, 　∴ 　　　 ∴ 兩式相減可得, ,　 (∵ 　, . 同理可得, , ∴ . .當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),, . 綜上所述, 是定值. 例8．(宿遷市2007屆高三年級(jí)第四次考試)21題 由原點(diǎn)O向曲線引切線，切點(diǎn)異于點(diǎn)O，再由點(diǎn)引此曲線的切線，切點(diǎn)異于點(diǎn)，如此繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列. (1) 求; (2) 求證數(shù)列為等比數(shù)列. (1) ∵, ∴ ∴ 過原點(diǎn)O, 切點(diǎn)為的切線方程為, ∴ 　消去得, ∵ ∴ . (2) 證明: 設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn), 則切線方程為 ∴ ∵ ,　 ∴ ∴ ,　 ∵, ∴ , ∴數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.

例1. 已知等比數(shù)列{}的各項(xiàng)為正數(shù), 數(shù)列{　}滿足　(>0且1), =18, =12. (1) 求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式; (2) 試判斷是否存在正整數(shù),使得當(dāng)>時(shí), >1恒成立,并說明理由;　 (0<<1) (3) 當(dāng)>12時(shí), 求證:+ ++...+<. 解：(1)∵ 數(shù)列{}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，∴ 當(dāng)2時(shí)，=-　=　 為常數(shù)， ∴ 數(shù)列{}為等差數(shù)列。 ∵ =18, =12， ∴=-2+24 . (2) 由(1)知, =-n+12. ① 若01,則當(dāng)12時(shí), 1;當(dāng)=12時(shí), =1;當(dāng)12時(shí), 1,故當(dāng)01時(shí),存在=12,當(dāng)12時(shí), 1. ② 若1,則當(dāng)12時(shí), 1;當(dāng)=12時(shí), =1;當(dāng)12時(shí), 1,故當(dāng)01時(shí),不存在,當(dāng)時(shí), 1. (3) 方法(一) 當(dāng)14時(shí) + ++...+　 =] 　< =[+] =[][]=　. = == =< 當(dāng)=13時(shí), + ++...+= <= == 綜上所述, 當(dāng)13時(shí), + ++...+<. 方法(二) 設(shè)=+ ++...+，則= +++...+ ∴-=+-= <= <0 . ∴<　, 即{ }單調(diào)遞減, ∴<. 例2. 已知數(shù)列滿足: . (1)　　 證明: 數(shù)列成等比數(shù)列; (2)　　 證明: . (1) 證明: ∵ , ∴ 　,　 ∵ 　∴ 數(shù)列 是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列. (2) 證明方法①： 由(1)可知, ∴ , 解得: . 證明方法②：由(1)可知, 　　　　　　　　　 < < < ∴ 　　　　　　　　　　　 = 　　　　　　　　　　　 =< 直線與平面平行的證明: 一般用下列兩個(gè)基本圖形在已知平面內(nèi)給出一條直線與已知直線平行, 或用面面平行的方法證明. 證明直線與平面平行,如果利用線面平行的判定定理來證明,就必須在已知平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行,這條直線一般可以過已知直線作一個(gè)與已知平面相交的平面而得到,而這個(gè)平面可以經(jīng)過已知直線和與已知直線、已知平面都相交的另一條直線而得到(如圖(1)),也可以經(jīng)過過已知直線上兩點(diǎn)且與已知平面相交的兩條平行直線而得到(如圖(2)). (輔助線的添加問題) 例3．四棱錐的底面是平行四邊形, 點(diǎn)在棱SA上,點(diǎn)在BD上,且 , 求證: ∥平面. 例4．正三棱柱中，E為AC的中點(diǎn).求證: ‖平面.　 分析: 先利用圖形(1)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線. 本例中與直線、平面都相交的直線有、、、. ① 與確定平面，　　　　　　　 顯然點(diǎn)是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn), 　 延長、相交于點(diǎn)F,連結(jié)BF，則直線BF就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面. ② 與確定平面,　　　 顯然點(diǎn)E是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn),　　　　 連結(jié),設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為G, 連結(jié)EG,則直線EG就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面. ③ 與確定平面，顯然點(diǎn)是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn),因此,這時(shí)的證明方法與①相同. ④ 與確定平面, 顯然點(diǎn)是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn),延長到,使,連結(jié),則就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面. 下面再利用圖形(2)在平面內(nèi)給出與直線平行的直線. 　 ① 直線AC是過點(diǎn)A且與平面相交于點(diǎn)E的一條直線,下面我們?cè)诮o出一條過點(diǎn)且與AC平行、與平面相交的另一條直線. 在平面內(nèi)過點(diǎn)作‖,過點(diǎn)作,連結(jié) ,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面. 　 ② 直線AB是過點(diǎn)A且與平面相交于點(diǎn)B的一條直線,下面我們?cè)诮o出一條過點(diǎn)且與AB平行、與平面相交的另一條直線. 　在平面內(nèi)延長到T,使=,連結(jié)、,只要證明就是經(jīng)過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面. 　 本例也可以利用面面平行的性質(zhì)證明‖平面. 　　 取的中點(diǎn)F, 連結(jié)AF、B1F，證明平面‖平面，就可得‖平面. 　　　 本例也可以用基底向量法給出證明. 　　　 證明: 取為一組基底. ,,　　 =, 　　　 設(shè)=　, 則=() = 　　　 ∴ 　　∴　 , ,　 ∴ =-+　, ∴‖平面.

例1．求函數(shù)在上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)的取值 . 例2．已知函數(shù)的最小值是，求實(shí)數(shù)的取值 . 解：若,則函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+),且為增函數(shù),故,得; 若,則函數(shù)的定義域?yàn)閇-a,+),且為增函數(shù),故,得, ∴ . 例3． (鹽城市2008屆高三第一次調(diào)研卷)題12 已知函數(shù)在的最大值為,求實(shí)數(shù)的取值 . 例4． (蘇州市2008屆高三第一次調(diào)研測(cè)試)題19 某商店經(jīng)銷一種奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且沒賣一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交(為常數(shù),)元的稅收.設(shè)每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)為元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查, 日銷售量與為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))成反比例.已知每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)為40元時(shí), 日銷售量為10件. (1)　　 求該商店的日利潤元與每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式; (2)　　 當(dāng)沒件產(chǎn)品的日銷售價(jià)為多少時(shí), 該商店的日利潤最大,并求出的最大值. 解: (1) =　 ; (2) = ∵　 ,　 ∴ ①　 若,則, 　(當(dāng)且僅當(dāng)是 取等于號(hào)), 　　 這時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù), 的最大值為,即10; ②　 若,則,當(dāng)時(shí), ,當(dāng) 時(shí), , 這時(shí), 函數(shù)在上為增函數(shù), 在上為減函數(shù),故函數(shù)的最大值為,即 ∴　 例5．求函數(shù)的最小值. 例6．設(shè)a為實(shí)數(shù), 函數(shù). (1) 討論函數(shù)的奇偶性;　　 (2) 求的最小值. 解(1): 若函數(shù)為奇函數(shù)， 則+=0，即()+(，這是不可能的，故函數(shù)不可能為奇函數(shù). 若函數(shù)為偶函數(shù)， 則-=0，即()-(， ∴ 等式對(duì)任意都成立, 故,即時(shí)函數(shù)為偶函數(shù). (2)　 函數(shù)可以化為 方法(一)　　 (整體求解) ① 若，則函數(shù)在是減函數(shù),在上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為. ② 若,則函數(shù)在是減函數(shù),在上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為. ③ 若，則函數(shù)在是減函數(shù),在上是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為. 　 方法(二)　 (分段討論) ?、?當(dāng)時(shí), , 若 ,則函數(shù)在是減函數(shù), 故函數(shù)的最小值為 , 　若,則函數(shù)的最小值為. ② 當(dāng)時(shí), , 　若 ,則函數(shù)的最小值為.　　　　　　　　　 若,則函數(shù)在是增函數(shù), 故函數(shù)的最小值為 , ∴　 若，則函數(shù)的最小值為; 　　 若,則函數(shù)的最小值為; 　　 若,則函數(shù)的最小值為. 例7．求使關(guān)于的不等式在恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍. 例8．若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　 　. 例9．已知二次函數(shù)，對(duì)于，成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解: 由題設(shè)可知, , ① 若, 則; ② 若, 則,　 ∴ , ,　 . 例10． (南京市2008屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研卷)題20 已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,它的前項(xiàng)和為,. (1)　　 求公差的值; (2)　　 若,求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小的項(xiàng); (3)　　 若對(duì)任意的,都有成立,求的取值范圍. 解：(1)∵ 　∴ ，解得，. (2)　　 若,則, ∴ = ∴ 當(dāng)時(shí),取最大值3, 當(dāng)3時(shí),取最大值-1. (3) =1+, ∵ ,　 ∴　 1+　1+, 　, 方法①： 若，則，，∴　 ； 若，則 若，則，. 綜上所述, . 方法②：考慮函數(shù) 由此可知, ,　 ∴　 . 例11．　 (南京市2008屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研卷)題18 某建筑的金屬支架如圖所示,根據(jù)要求至少長2.8,為的中點(diǎn),到的距離比的長小0.5,.已知金屬支架每米的價(jià)格一定,問怎樣設(shè)計(jì),的長, 可使建造這個(gè)支架的成本最低? 解：設(shè)則， 由題設(shè)可知，在中，. 設(shè), 方法①：則由知，， ∴ =　 　 (當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等于號(hào)成立) =7 這時(shí)，即=3,=4時(shí)建造這個(gè)支架的成本最低. 方法②：. , 則， ， ， ， ∵ ，　 ∴ . 當(dāng)時(shí), , 即,　 , , ,故7為的最小值. 即=3,=4時(shí)建造這個(gè)支架的成本最低. 方法③：. , 則， 令，則函數(shù)的圖象與軸在上有公共點(diǎn). ∴ 或　 解得,或,即. 當(dāng)時(shí), ,, 即=3,=4時(shí)建造這個(gè)支架的成本最低.